[论文解读] Lectures on Wakimoto modules, opers and the center at the critical level

Edward Frenkel|ArXiv.org|Oct 2, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 28被引用 51

一句话总结

本文使用上同调方法和顶点代数技术，为仿射 Kac-Moody 代数在临界水平构造了 Wakimoto 模，并建立了该水平下普遍包络代数的中心与 Langlands 对偶李代数相关的经典 W-代数之间的典范同构。关键结果表明，该中心同构于形式域上 $^L G$-对从的函数代数，且保持顶点 Poisson 结构。

ABSTRACT

Wakimoto modules are representations of affine Kac-Moody algebras in Fock modules over infinite-dimensional Heisenberg algebras. In these lectures we present the construction of the Wakimoto modules from the point of view of the vertex algebra theory. We then use Wakimoto modules to identify the center of the completed universal enveloping algebra of an affine Kac-Moody algebra at the critical level with the algebra of functions on the space of opers for the Langlands dual group on the punctured disc. These results were originally obtained by B. Feigin and the author.

研究动机与目标

• 为仿射 Kac-Moody 代数提供一种基于顶点代数理论的 Wakimoto 模构造方法。
• 建立临界水平下 $V_{\tilde{\rho}}(\frak{g})$ 的中心与 Langlands 对偶群的经典 $\mathcal{W}$-代数之间的同构关系。
• 将 Wakimoto 实现推广至半无限抛物诱导框架。
• 利用 Wakimoto 模证明 Kac-Kazhdan 关于临界水平不可约模特征标的猜想。
• 证明临界水平下的中心同构于形式域上 $^L G$-对从的函数代数，且保持顶点 Poisson 结构。

提出的方法

• 使用上同调方法，从顶点代数 $V_\kappa(\frak{g})$ 构造到 Fock 模 $M_{\frak{g}} \otimes \pi^{\kappa - \kappa_c}_0$ 的同态。
• 将上同调中的障碍类识别为定义仿射 Kac-Moody 代数的类。
• 使用第二类筛子算子分析 $V_{\kappa_c}(\frak{g})$ 的中心。
• 利用临界水平下最高权为 0 的 Verma 模与某一特定 Wakimoto 模之间的同构关系，计算奇异向量的伴随分次。
• 应用经 $\rho$ 平移的 Harish-Chandra 同态，将中心与 $\operatorname{Fun}({}^L\frak{h})^W_\rho$ 关联，并利用留数映射识别各分次分量。
• 证明中心与 $\operatorname{Fun} \operatorname{Op}_{{}^L G}(\mathbb{D}^\times)_{\leq 1}^0$ 之间的同构保持顶点 Poisson 结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用顶点代数理论系统地构造任意仿射李代数的 Wakimoto 模？
• RQ2 临界水平下普遍包络代数 $V_{\kappa_c}(\frak{g})$ 的中心结构是什么？
• RQ3 临界水平下 $V_{\kappa_c}(\frak{g})$ 的中心是否同构于 Langlands 对偶李代数的经典 $\mathcal{W}$-代数？
• RQ4 第二类筛子算子如何促进临界水平下中心的计算？
• RQ5 形式域上 $^L G$-对从的函数代数是否同构于 $V_{\kappa_c}(\frak{g})$ 的中心，作为顶点 Poisson 代数？

主要发现

• 临界水平下 $V_{\kappa_c}(\frak{g})$ 的中心与 Langlands 对偶李代数 ${}^L\frak{g}$ 相关的经典 $\mathcal{W}$-代数之间存在典范同构。
• 通过留数映射与经 $\rho$ 平移的 Harish-Chandra 同态，建立了中心与 $\operatorname{Fun} \operatorname{Op}_{{}^L G}(\mathbb{D}^\times)_{\leq 1}^0$ 之间的同构。
• 中心同构于 $\operatorname{Fun}({}^L\frak{h})^W_\rho$，其中交换图中下水平箭头由 $f \mapsto f^-$ 给出，其中 $f^-(\lambda + \rho) = f(-\lambda - \rho)$。
• 中心与 $\operatorname{Fun} \operatorname{Op}_{{}^L G}(\mathbb{D}^\times)_{\leq 1}^0$ 之间的同构保持顶点 Poisson 结构。
• 通过半无限抛物诱导构造 Wakimoto 模的方法推广了约化群的标准诱导。
• 利用 Wakimoto 实现与奇异向量的伴随分次，证明了 Kac-Kazhdan 关于临界水平不可约模特征标的猜想。