[论文解读] Lefschetz contact manifolds and odd dimensional symplectic geometry

Yi Lin|Nov 6, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 9被引用 11

一句话总结

本文利用奇数维辛几何，为紧致 $K$-接触流形建立了一个统一的硬 Lefschetz定理，证明了关于 Sasaki 流形的两种现有硬 Lefschetz定理版本——基于基本上同调与 De Rham 上同调——在数学上是等价的。该方法使得在所有维度 $\geq 9$ 中，能够简单构造出具有紧致性但不具有 Sasaki 结构的 simply-connected $K$-接触流形，从而解决了 Boyer 和 Galicki 提出的一个开放问题。

ABSTRACT

In the literature, there are two different versions of Hard Lefschetz theorems for a compact Sasakian manifold. The first version, due to Kacimi-Alaoui, asserts that the basic cohomology of a compact Sasakian manifold satisfies the transverse Lefschetz property. The second version, established far more recently by Cappelletti-Montano, De Nicola, and Yudin, holds for the De Rham cohomology of a compact Sasakian manifold. In the current paper, using the formalism of odd dimensional symplectic geometry, we prove a Hard Lefschetz theorem for a compact $K$-contact manifold, which implies immediately that the two existing versions of Hard Lefschetz theorems are mathematically equivalent to each other. Our method sheds new light on the Hard Lefschetz property of a Sasakian manifold. It enables us to give a simple construction of simply-connected $K$-contact manifolds without any Sasakian structures in any dimension $\geq 9$, and answers an open question asked by Boyer and late Galicki concerning the existence of such examples. It also allows us to establish a sufficient and necessary condition for a finitely presentable group to be the fundamental group of a compact Lefschetz contact five manifold. As an immediate application, we use it to produce first examples of compact Lefschetz contact manifolds which do not support any Sasakian structures. This provides an answer to another open question asked by Cappelletti-Montano, De Nicola, and Yudin in their recent work.

研究动机与目标

• 解决关于紧致 Sasaki 流形的两种不同硬 Lefschetz定理版本之间的概念性关系：一种基于基本上同调，另一种基于 De Rham 上同调。
• 利用奇数维辛几何，为 $K$-接触流形中的硬 Lefschetz性质建立统一框架。
• 回答 Boyer 和 Galicki 提出的一个开放问题：是否存在在维度 $\geq 9$ 下不支持任何 Sasaki 结构的 simply-connected $K$-接触流形？
• 提供一种新的、基于辛 Hodge 理论的方法，以替代先前证明中使用的黎曼 Hodge 理论，从而提供更深层次的几何洞察。

提出的方法

• 利用 He（2010）发展的奇数维辛 Hodge 理论，分析 $K$-接触流形的上同调结构。
• 应用 [BG08] 中建立的将基本上同调与 $K$-接触流形的 De Rham 上同调联系起来的长正合列。
• 通过定义 Lefschetz 映射 $Lef_k: \Omega^k(M) \to \Omega^{2n+1-k}(M)$，$\alpha \mapsto \eta \wedge (d\eta)^{n-k} \wedge \alpha$，证明其保持调和性。
• 使用 Boothby-Wang 构造，将整数辛流形提升为 simply-connected $K$-接触流形上的正则接触结构。
• 利用 Poincaré 对偶性和 Künneth 公式，计算积辛流形的贝蒂数。
• 应用引理 5.6 关于 simply-connected Boothby-Wang 纤维丛，确保当底空间 simply-connected 且欧拉类不可约时，全空间也为 simply-connected。

实验结果

研究问题

• RQ1 关于紧致 Sasaki 流形的两种现有硬 Lefschetz定理版本——基于基本上同调与 De Rham 上同调——在数学上是否等价？
• RQ2 能否利用奇数维辛几何，统一刻画 $K$-接触流形的硬 Lefschetz性质？
• RQ3 在维度 $\geq 9$ 下，是否存在不支持任何 Sasaki 结构的 simply-connected $K$-接触流形？
• RQ4 能否使用基于辛 Hodge 理论的方法，替代证明 $K$-接触流形硬 Lefschetz定理时所用的黎曼 Hodge 理论？

主要发现

• 关于紧致 Sasaki 流形的两种硬 Lefschetz定理版本在数学上是等价的，因为二者均等价于 $K$-接触流形的横截硬 Lefschetz性质。
• 一个紧致 $K$-接触流形满足 Cappelletti-Montano、De Nicola 和 Yudin 定义的硬 Lefschetz性质，当且仅当它满足横截硬 Lefschetz性质。
• 对任意 $n \geq 4$，存在一个维度为 $2n+1$ 的紧致 simply-connected $K$-接触流形，其 $b_3(P) = 3$，且不支持任何 Sasaki 结构。
• 此类例子通过 Boothby-Wang 纤维丛构造而成，其底空间为 simply-connected、2-Lefschetz、整数辛流形，且 $b_3(M) = 3$，欧拉类不可约。
• 底流形上的辛形式为整数形式且为 2-Lefschetz，且由于欧拉类不可约，所得全空间为 simply-connected。
• 该构造在所有维度 $\geq 9$ 中产生例子，从而回答了 Boyer 和 Galicki 的一个开放问题。