[论文解读] Lefschetz numbers for C*-algebras

Heath Emerson|ArXiv.org|Aug 31, 2007

Advanced Operator Algebra Research被引用 5

一句话总结

本文为满足庞加莱对偶性和库恩斯定理的可分核C*-代数的自同态构造了一个类似Lefschetz的公式，利用Kasparov的KK-理论将Lefschetz数表示为拓扑指标配对。对于Cuntz-Krieger代数 $O_A$，基于关联图中路径上的置换动力学，推导出Lefschetz数的闭合多项式公式，结果与关联算子的Fredholm指标一致。

ABSTRACT

Using Poincare duality, we formulate a formula of Lefschetz type which computes the Lefschetz number of an endomorphism of a separable, nuclear C*-algebra satisfying Poincare duality and the Kunneth theorem. (The Lefschetz number of an endomorphism is the graded trace of the induced map on K-theory tensored with the complex numbers, as in the classical case.) We then consider endomorphisms of Cuntz-Krieger algebras O_A. An endomorphism has an invariant, which is a permutation of an infinite set, and the contracting and expanding behavior of this permutation describes the Lefschetz number of the endomorphism. Using this description we derive a closed polynomial formula for the Lefschetz number depending on the matrix A and the presentation of the endomorphism.

研究动机与目标

• 将经典Lefschetz不动点定理推广到使用庞加莱对偶性和K-理论的C*-代数框架中。
• 使用KK-理论中的拓扑指标配对，表达C*-代数上自同态的Lefschetz数。
• 利用底层图的几何与组合数据，显式计算Cuntz-Krieger代数 $O_A$ 上自同态的Lefschetz数。
• 建立Lefschetz数关于矩阵 $A$ 和自同态在路径上作用的闭式多项式公式。

提出的方法

• 使用KK-理论中的庞加莱对偶性，定义一个基本类 $\Delta \in \mathrm{KK}^1(O_A \otimes O_{A^T}, \mathbb{C})$，该类诱导K-理论与K-同调之间的同构。
• 通过单边移位 $\Sigma_A^+$ 上的 $n$-元部分同胚映射，在路径空间 $\mathbf{P}$ 上表示 $O_A$ 的自同态 $\alpha_\Psi$。
• 在有限路径集 $\mathbf{P}$ 上定义一个部分置换 $\dot{\Psi}$，以编码 $\alpha_\Psi$ 对生成元的作用。
• 构造一个与 $\dot{\Psi}$ 关联的Fredholm算子 $W_\Psi$，作用于 $\ell^2(\mathbf{P})$，其解析指标计算Lefschetz数。
• 将 $W_\Psi$ 的指标计算为在 $\dot{\Psi}$ 作用下路径长度被压缩与被扩展的路径数量之差，从而导出一个多项式表达式。
• 通过Kasparov乘积建立等式 $\mathrm{Index}(\dot{\Psi}) = \mathbf{Ind}(\Delta, [\alpha_\Psi])$，证明Lefschetz公式成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用对偶性和K-理论，将经典Lefschetz不动点定理推广到非交换C*-代数？
• RQ2 在具有庞加莱对偶性的核C*-代数上，计算自同态Lefschetz数的精确拓扑不变量是什么？
• RQ3 Cuntz-Krieger代数 $O_A$ 上自同态的Lefschetz数如何依赖于底层矩阵 $A$ 的组合性质以及自同态在路径上的作用？
• RQ4 对于由路径上部分置换诱导的 $O_A$-自同态，Lefschetz数能否作为Fredholm指标来计算？

主要发现

• 具有庞加莱对偶性的C*-代数上自同态 $\alpha_\Psi$ 的Lefschetz数由指标配对 $\mathbf{Ind}(\Delta, [\alpha_\Psi])$ 给出，其中 $\Delta$ 为对偶类。
• 对于Cuntz-Krieger代数 $O_A$，Lefschetz数等于由路径空间 $\mathbf{P}$ 上的部分置换 $\dot{\Psi}$ 诱导的算子 $W_\Psi$ 的Fredholm指标。
• 算子 $W_\Psi$ 的指标计算为在 $\dot{\Psi}$ 作用下路径长度被压缩的路径数与被扩展的路径数之差，从而导出一个多项式公式。
• 公式明确表达为： $$ \mathrm{Trace}_s((\alpha_\Psi)_*) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^N \sum_{\substack{\mu \in W_i \\ |\psi_i(\mu)| \leq |\mu| - j + 1}} A^{m+j-k}_{t(\mu),i} - \sum_{i=1}^n \sum_{j=0}^{N-1} \sum_{\substack{\mu \in W_i \\ |\psi_i(\mu)| \geq |\mu| + j + 2}} A^{m-j-k}_{t(\mu),i}, $$ 当 $m$ 和 $N$ 足够大时，该公式与Lefschetz数一致。
• 在 $k=2$，$m=3$，$N=1$ 的具体例子中验证了结果，得到 $\mathrm{Index}(\dot{\Psi}) = 8 - 7 = 1$，确认了公式的正确性。