[论文解读] Left counital Hopf algebra structures on free commutative Nijenhuis algebras

Shanghua Zheng, Li Guo|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2017

Advanced Topics in Algebra参考文献 32被引用 3

一句话总结

本文通过利用上循环条件构造左余单位右反演元的霍普夫代数结构，将自由交换的尼真内斯代数构建为左余单位右反演元的霍普夫代数。首先，利用上循环条件构造一个左余单位双代数，然后证明连通分次左余单位双代数具有右反演元，从而得到左余单位霍普夫代数。其主要贡献在于提出了一类具有弱化对称性条件的新型霍普夫类结构。

ABSTRACT

Motivated by the Hopf algebra structures established on free commutative Rota-Baxter algebras, we explore Hopf algebra related structures on free commutative Nijenhuis algebras. Applying a cocycle condition, we first prove that a free commutative Nijenhuis algebra on a left counital bialgebra (in the sense that the right-sided counicity needs not hold) can be enriched to a left counital bialgebra. We then establish a general result that a connected graded left counital bialgebra is a left counital right antipode Hopf algebra in the sense that the antipode is also only right-sided. We finally apply this result to show that the left counital bialgebra on a free commutative Nijenhuis algebra on a connected left counital bialgebra is connected and graded, hence is a left counital right antipode Hopf algebra.

研究动机与目标

• 将霍普夫代数结构从自由交换的罗塔-巴克斯特代数推广至自由交换的尼真内斯代数。
• 通过引入左余单位与右反演元条件，解决尼真内斯代数结构中缺乏完全对称性的问题。
• 将经典结果‘连通分次双代数是霍普夫代数’推广至左余单位情境。
• 证明自由交换的尼真内斯代数在连通左余单位双代数上继承了连通分次结构，从而成为左余单位右反演元霍普夫代数。
• 提供一类新型非标准霍普夫代数，具有单侧余单位与反演元，与现有单侧霍普夫代数概念不同。

提出的方法

• 通过右移打结积的推广构造自由交换的尼真内斯代数。
• 在底层左余单位双代数上，通过上循环条件定义一个余乘法 Δ_T。
• 验证 Δ_T 与余单位 ε_T 关于尼真内斯代数乘法的相容性。
• 通过元素次数的归纳法，证明 Δ_T 的余结合性与 ε_T 的左余单位性。
• 通过张量幂定义自然滤子，确立所得双代数为连通且分次的。
• 应用经典连通分次双代数 ⇒ 霍普夫代数定理的推广版本，推导出右反演元的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管缺乏完全对称性，自由交换的尼真内斯代数能否被赋予类似霍普夫代数的结构？
• RQ2 在底层双代数结构上，上循环条件是否足以将左余单位双代数提升为左余单位右反演元霍普夫代数？
• RQ3 在连通左余单位双代数上的自由交换尼真内斯代数是否自然地具有分次与连通性？
• RQ4 经典结果‘连通分次双代数是霍普夫代数’能否推广至左余单位情境？
• RQ5 此类代数中反演元的精确性质是什么？为何其仅为右向的？

主要发现

• 在左余单位双代数上的自由交换尼真内斯代数可通过上循环条件赋予余乘法 Δ_T，使其成为左余单位双代数。
• 余乘法 Δ_T 具有余结合性，余单位 ε_T 为左向，满足左余单位性条件。
• 在连通左余单位双代数上的自由交换尼真内斯代数自然地具有连通性与分次性，按张量次数分次。
• 证明了一个普遍结果：每个连通分次左余单位双代数均存在右向反演元，使其成为左余单位右反演元霍普夫代数。
• 作为推论，连通左余单位双代数上的自由交换尼真内斯代数成为左余单位右反演元霍普夫代数。
• 该构造产生了一类新型霍普夫类结构，具有非对称对偶性，与标准霍普夫代数及先前的单侧霍普夫代数概念均不同。