[论文解读] Left Demazure-Lusztig operators on equivariant (quantum) cohomology and K theory

Leonardo C. Mihalcea, Hiroshi Naruse+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文引入了作用于部分旗流形 $G/P$ 的等变（量子）上同调与 K-理论上的左 Demazure-Lusztig 算子，证明这些算子通过 Weyl 群元素左乘诱导的作用，递归地生成 Schubert 类。主要贡献在于确立了这些算子在等变上同调中生成 Chern-Schwartz-MacPherson 类、在等变 K-理论中生成 motivic Chern 类，并自然地扩展至量子上同调与 K-理论，其 Leibniz 法则与量子乘积相容。

ABSTRACT

We study the Demazure-Lusztig operators induced by the left multiplication on partial flag manifolds $G/P$. We prove that they generate the Chern-Schwartz-MacPherson classes of Schubert cells (in equivariant cohomology), respectively their motivic Chern classes (in equivariant K theory), in any partial flag manifold. Along the way we advertise many properties of the left and right divided difference operators in cohomology and K theory, and their actions on Schubert classes. We apply this to construct left divided difference operators in equivariant quantum cohomology, and equivariant quantum K theory, generating Schubert classes, and satisfying a Leibniz rule compatible with the quantum product.

研究动机与目标

• 定义并研究部分旗流形 $G/P$ 的等变上同调与 K-理论上的左 Demazure-Lusztig 算子。
• 证明这些算子在等变上同调中生成 Chern-Schwartz-MacPherson 类，在等变 K-理论中生成 motivic Chern 类。
• 将左算子框架扩展至等变量子上同调与 K-理论，保持与量子乘积的相容性。
• 建立一个几何与代数框架，使左作用与 Schubert 类的递归关系及 Hecke 代数结构相容。

提出的方法

• 本文通过 Weyl 群元素在 $G/P$ 上的左乘定义左分差算子，诱导等变上同调与 K-理论环的自同构。
• 它将左 Demazure-Lusztig 算子构造为与等变量子上同调和 K-理论中量子乘积相容的左分差算子的形变。
• 作者利用局部化同构 $\overline{\Psi}_P: K_T(G/P) \xrightarrow{\sim} R(T) \otimes_{R(G)} R(T)^{W_P}$ 将 K-理论类与表示联系起来，并通过特征公式计算其作用。
• 他们证明了连接左/右作用、局部化与上拉/下推操作的交换图表，表明其与 K-理论和等变上同调中已知构造的一致性。
• 该方法依赖于左乘在等变量子上同调与 K-理论上诱导环自同构的事实，从而实现 Schubert 类的递归生成。
• 该方法与卷积算子及 Harada-Landweber-Sjamaar 模型相联系，为左 Hecke 代数作用提供了几何实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 左 Demazure-Lusztig 算子如何作用于部分旗流形 $G/P$ 的等变上同调与 K-理论？
• RQ2 这些算子能否在 $G/P$ 的 Schubert 单元上生成 Chern-Schwartz-MacPherson 类与 motivic Chern 类？
• RQ3 左算子能否扩展至等变量子上同调与 K-理论，同时保持与量子乘积的 Leibniz 法则相容？
• RQ4 在等变上同调与 K-理论的背景下，Weyl 群的左作用与右作用在几何与代数上如何关联？
• RQ5 左作用的精确代数结构是什么，其与退化与完整 Hecke 代数的关系如何？

主要发现

• 左 Demazure-Lusztig 算子在 $G/P$ 的等变上同调中生成 Schubert 单元的 Chern-Schwartz-MacPherson 类。
• 相同的算子在 $G/P$ 的等变 K-理论中生成 Schubert 单元的 motivic Chern 类。
• 左算子可扩展至等变量子上同调与 K-理论，其作用满足与量子乘积相容的 Leibniz 法则。
• 在局部化同构 $\overline{\Psi}_P$ 下，$K_T(G/P)$ 上的左作用同构于 $1 \otimes \partial'_i$ 的作用，从而与表示理论相联系。
• 左与右作用分别与相应的局部化与上拉/下推映射可交换，这通过涉及 $\pi_*$ 与 $\pi^*$ 的交换图表得以证明。
• 左 Demazure 算子与卷积算子一致，并与 Harada-Landweber-Sjamaar 的模型匹配，从而在几何与代数框架之间建立了统一性。