[论文解读] Left fibrations and homotopy colimits II

Gijs Heuts, Ieke Moerdijk|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文建立了小单纯范畴 𝔄 上的单纯图的投射模型结构与 𝔄 的同伦-一致神经网络上的单纯集的协变模型结构之间的 Quillen 等价性。通过同伦上积构造了一个左 Quillen 赋函子，并证明其为 Quillen 等价，将早期关于普通范畴的结果推广，并为 Lurie 的直化-反直化等价性提供了对称版本。

ABSTRACT

For a small simplicial category A, we prove that the homotopy colimit functor from the category of simplicial diagrams on A to the category of simplicial sets over the homotopy-coherent nerve of A provides a left Quillen equivalence between the projective model structure on the former category and the covariant model structure on the latter. We compare this Quillen equivalence to the straightening-unstraightening equivalence previously established by Lurie, where the left adjoint goes in the opposite direction. The existence of left Quillen functors in both directions considerably simplifies the proof that these constructions provide Quillen equivalences. The results of this paper generalize those of part I, where A was an ordinary category. The proofs for a simplicial category are more involved and can be read independently.

研究动机与目标

• 将普通范畴上的同伦上积 Quillen 等价性推广至单纯范畴。
• 通过在相反方向构造左 Quillen 赋函子，建立与 Lurie 的直化-反直化等价性的对称 Quillen 等价性。
• 通过在两个方向上展示左 Quillen 赋函子，简化 Quillen 等价性的证明。
• 将左纤维化与同伦上积的框架扩展至单纯范畴的设定，该设定需要比普通范畴更精细的技术。
• 为由单纯函子诱导的赋函子之间提供一个自然变换，该变换在投射性好对象上为弱等价，以确保与导出赋函子的相容性。

提出的方法

• 定义函子 $ h_! : \mathbf{sSets}^{\mathbf{A}} \to \mathbf{sSets}/w^*\mathbf{A} $ 为 $ h: \mathbf{A}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{sSets}/w^*\mathbf{A} $ 的单纯左 Kan 扩张，其中 $ h(a) = a/w^*\mathbf{A} $。
• 为 $ \mathbf{sSets}^{\mathbf{A}} $ 赋予投射模型结构，为 $ \mathbf{sSets}/w^*\mathbf{A} $ 赋予协变模型结构。
• 证明 $ h_! $ 是左 Quillen 赋函子，并构成 Quillen 伴随对 $ (h_!, h^*) $。
• 证明 $ h_! $ 与遗忘函子 $ \mathbf{sSets}/w^*\mathbf{A} \to \mathbf{sSets} $ 的复合在自然同构意义下等价于同伦上积赋函子 $ \mathrm{hocolim}_{\mathbf{A}} $。
• 利用存在一个自然变换 $ H: (w^*F)_! \circ h_!^\mathbf{A} \to h_!^\mathbf{B} \circ F_! $，其在投射性好对象上为协变弱等价，以建立导出赋函子的相容性。
• 利用 Lurie 的直化-反直化构造中的伴随对 $ (r_!, r^*) $，并证明当 $ \mathbf{A} $ 为纤维化单纯范畴时，$ (h_!, h^*) $ 与 $ (r_!, r^*) $ 均为 Quillen 等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 从单纯范畴 𝔄 上的单纯图到 $ w^*\mathbf{A} $ 上的单纯集的同伦上积赋函子是否能扩展为 Quillen 等价？
• RQ2 是否能在单纯范畴的设定下建立图与上范畴之间的 Quillen 等价性，从而推广普通范畴的情形？
• RQ3 新的左 Quillen 赋函子 $ h_! $ 与 Lurie 的反向直化-反直化等价性有何关系？
• RQ4 由单纯函子 $ F: \mathbf{A} \to \mathbf{B} $ 诱导的自然变换是否在投射性好对象上为弱等价，以确保导出赋函子的相容性？
• RQ5 当 $ \mathbf{A} $ 为纤维化单纯范畴时，Quillen 对 $ (h_!, h^*) $ 在何种条件下为 Quillen 等价？

主要发现

• 函子 $ h_! $ 是从 $ \mathbf{sSets}^{\mathbf{A}} $ 的投射模型结构到 $ \mathbf{sSets}/w^*\mathbf{A} $ 的协变模型结构的左 Quillen 赋函子，构成 Quillen 伴随对。
• $ h_! $ 与遗忘函子 $ \mathbf{sSets}/w^*\mathbf{A} \to \mathbf{sSets} $ 的复合在自然同构意义下等价于同伦上积赋函子 $ \mathrm{hocolim}_{\mathbf{A}} $。
• 当 $ \mathbf{A} $ 为纤维化单纯范畴时，Quillen 对 $ (h_!, h^*) $ 为 Quillen 等价。
• $ \mathbf{L}h_! $ 允许一个右拟逆，通过一系列涉及 $ \mathbf{L}(w^*F)_! $、$ \mathbf{L}h_! \circ \mathbf{L}r_! $ 与 $ \mathbf{L}\overline{F}_! $ 的自然同构得以证明，其中 $ \overline{F} $ 为范畴等价。
• Lurie 的直化-反直化构造中的伴随对 $ (r_!, r^*) $ 同样为 Quillen 等价，且 $ \mathbf{L}r_! $ 允许一个左拟逆，从而确认其导出等价性。
• 自然变换 $ H: (w^*F)_! \circ h_!^\mathbf{A} \to h_!^\mathbf{B} \circ F_! $ 在投射性好对象上为协变弱等价，确保了导出赋函子的相容性。