[论文解读] Left invariant complex structures on U(2) and SU(2)xSU(2) revisited

Louis Magnin|ArXiv.org|Sep 6, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文采用基于无挠线性映射的计算方法，重新审视了 𝔘(2) 和 𝔘(2)×𝔘(2) 上的左不变可积复结构。该方法基于 𝔰𝔲(2)，提供了对可积复结构及其在李代数自同构群作用下的等价类的全新确定。证明了这些复结构的集合构成一个微分流形，并为 SU(2)×SU(2) 上的复结构构造了显式的局部全纯坐标图。

ABSTRACT

We compute the torsion-free linear maps from the Lie algebra su(2) into itself, deduce a new determination of the integrable complex structures and their equivalence classes under the action of the automorphism group for u(2) and su(2)xsu(2), and prove that in both cases the set of complex structures is a differentiable manifold. u(2)x u(2), su(2)^N and u(2)^N are also considered. Extensions of complex structures from u(2) to su(2)xsu(2) are studied, local holomorphic charts given, and attention is paid to what representations of u(2) we can get from a substitute to the regular representation on a space of holomorphic functions for the complex structure.

研究动机与目标

• 通过基于无挠线性映射的新型计算方法，重新推导 𝔲(2) 和 𝔰𝔲(2)⊕𝔰𝔲(2) 上可积左不变复结构的分类。
• 确定这些复结构在李代数自同构群作用下的等价类。
• 证明 𝔲(2) 和 𝔰𝔲(2)⊕𝔰𝔲(2) 上所有可积复结构的集合构成一个微分流形。
• 将复结构从 𝔲(2) 扩展至 𝔰𝔲(2)⊕𝔰𝔲(2)，并为由此产生的复流形构造显式局部全holomorphic 坐标图。
• 分析 𝔲(2) 在每个复结构下于全纯函数空间上实现的表示，与标准正则表示进行比较。

提出的方法

• 计算 𝔰𝔲(2) → 𝔰𝔲(2) 的无挠线性映射 J，证明其为类型 CR0 的最大秩 CR-结构。
• 利用 Reduce 计算代数系统，通过结构方程的投影，应用计算机辅助代数方法求解 Newlander-Nirenberg 可积性条件。
• 利用复结构与复子代数 𝔪 ⊂ 𝔤ℂ 之间的代数对应关系，其中 𝔤ℂ = 𝔪 ⊕ 𝔪̄，且 𝔪 = 𝔤(1,0)。
• 通过求解偏微分方程组 ∂f/∂ψ₁ + iη ∂f/∂ψ₂ = 0 及其他变量的类似方程，在 SU(2)×SU(2) 的开子集 W ⊂ 上构造局部全纯坐标 (z¹, z², z³)。
• 利用左不变向量场和复化切空间，推导出被反全纯向量场消去的全纯函数的显式表达式。
• 分析 𝕌(2) 的酉对偶，将全纯函数空间上的诱导表示与标准正则表示进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 在自同构群等价意义下，𝔲(2) 上所有可积左不变复结构的完整分类是什么？
• RQ2 𝔲(2) 上的复结构如何扩展至 𝔰𝔲(2)⊕𝔰𝔲(2)？其结果的复流形结构是怎样的？
• RQ3 能否证明 𝔲(2) 和 𝔰𝔲(2)⊕𝔰𝔲(2) 上所有可积复结构的集合构成一个微分流形？
• RQ4 SU(2)×SU(2) 上复结构的局部全纯坐标图是什么？它们如何从复化切空间分解构造而来？
• RQ5 复结构作用于全纯函数空间时，会诱导出 𝔲(2) 的哪些表示？它们与正则表示有何不同？

主要发现

• 无挠线性映射 J: 𝔰𝔲(2) → 𝔰𝔲(2) 被证明为类型 CR0 的最大秩 CR-结构，为分类提供了基础。
• 𝔲(2) 和 𝔰𝔲(2)⊕𝔰𝔲(2) 上所有可积复结构的集合构成一个微分流形，且对这两种情况均提供了明确证明。
• 在 SU(2)×SU(2) 的开子集 W ⊂ 上，构造了显式的全纯坐标图 (z¹, z², z³)，且 Z: W → ℂ³ 是一个双全纯双射。
• 全纯坐标由以下公式给出：z¹ = e^{iφ₁} cot(θ₁/2)，z² = e^{iφ₂} cot(θ₂/2)，z³ = e^{iψ₁/2} e^{(η(1+iξ)/(1+ξ²)) ψ₂/2} √(sin θ₁) √(sin θ₂)。
• SU(2)×SU(2) 上复结构诱导的全纯函数空间上的表示被证明是非平凡的酉表示扩展，与正则表示不同。
• 当 q ∈ 2ℤ 时，ℋ_q 是 D^q(2(k−1)) 对 ↑_{−k}^q ⊕ ↓_{−k}^q 的非平凡扩展；当 q = 2k 时，它是 D^q(2k) 对 ↑_{−k−1}^q 或 ↓_{−k−1}^q 的非平凡扩展，表明其非酉且非正则。