[论文解读] Left-invariant CR structures on 3-dimensional Lie groups

Gil Bor, Howard Jacobowitz|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2019

Holomorphic and Operator Theory参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文使用嘉当等价法与特制余标架，对四个三维李群——SL₂(ℝ)、SU₂、Heisenberg群与欧几里得群——上的左不变CR结构进行了现代且系统的分类。它在SL₂(ℝ)上识别出两组不同的单参数族CR结构（椭圆族与双曲族），其特征为接触分布与Killing度量的零锥之间的交性，并通过低维复表示建立了其实现性。

ABSTRACT

The systematic study of CR manifolds originated in two pioneering 1932 papers of Élie Cartan. In the first, Cartan classifies all homogeneous CR 3-manifolds, the most well-known case of which is a one-parameter family of left-invariant CR structures on $\mathrm{SU}_2 = S^3$, deforming the standard `spherical' structure. In this paper, mostly expository, we illustrate and clarify Cartan's results and methods by providing detailed classification results in modern language for four 3-dimensional Lie groups. In particular, we find that $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ admits two one-parameter families of left-invariant CR structures, called the elliptic and hyperbolic families, characterized by the incidence of the contact distribution with the null cone of the Killing metric. Low dimensional complex representations of $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ provide CR embedding or immersions of these structures. The same methods apply to all other three-dimensional Lie groups and are illustrated by descriptions of the left-invariant CR structures for $\mathrm{SU}_2$, the Heisenberg group, and the Euclidean group.

研究动机与目标

• 以现代微分几何语言重新诠释并澄清埃利·嘉当于1932年对齐航CR三维流形的分类。
• 系统分类四个三维李群——SL₂(ℝ)、SU₂、Heisenberg群与欧几里得群——上所有左不变CR结构。
• 通过接触分布与Killing度量零锥的交性，对SL₂(ℝ)上的CR结构进行表征，区分椭圆族与双曲族。
• 通过低维复表示建立这些CR结构的实现性，提供CR嵌入或浸入。
• 证明：CR三维流形的最大对称群维数为8当且仅当其为球面对称结构，且SU₂是唯一具有完整PU₂,₁对称性的例子。

提出的方法

• 应用嘉当等价法，借助特制余标架与Maurer-Cartan结构方程，对三维李群上的CR结构进行分类。
• 采用左不变的特制余标架(φ, φ₁)，满足dφ = iφ₁ ∧ φ̄₁ 与 dφ₁ = aφ₁ ∧ φ̄₁ + bφ ∧ φ₁ + cφ ∧ φ̄₁，其中a, b, c为复常数。
• 推导出结构常数的必要代数条件：b + b̄ = 0 与 a c̄ = ā c，以确保与CR几何的相容性。
• 求解方程组(19)，显式计算出r, s与φⱼ (j=2,3,4)关于a, b, c的表达式。
• 利用嘉当CR曲率不变量R的消失来判断球面对称性，导出条件c(2|a|² + 9ib) = 0。
• 应用活动标架理论与H-等变性，证明CR三维流形的自守群维数至多为8，且当且仅当结构为球面对称时维数为8。

实验结果

研究问题

• RQ1 SL₂(ℝ)上左不变CR结构的完整族是什么？它们在几何上如何区分？
• RQ2 如何利用接触分布与Killing度量零锥的交性来对三维李群上的CR结构进行分类？
• RQ3 哪些三维李群具有非球面对称的左不变CR结构？它们如何通过复表示实现？
• RQ4 三维CR流形的CR自守群的最大可能维数是多少？在何种条件下达到？
• RQ5 在何种条件下，三维李群上的左不变CR结构为球面对称？如何通过代数方法检测？

主要发现

• SL₂(ℝ)上存在两组不同的单参数族左不变CR结构：椭圆族与双曲族，其区分依据为接触分布与Killing度量零锥的交性。
• SL₂(ℝ)上的CR结构为球面对称当且仅当c(2|a|² + 9ib) = 0，此条件由嘉当CR曲率不变量消失导出。
• 任意连通CR三维流形的自守群维数至多为8，且维数为8当且仅当结构为球面对称。
• 对于SU₂，自守群为PU₂,₁，且S³上任意开子集之间的局部CR微分同胚唯一地延拓为PU₂,₁中的全局元素。
• Heisenberg群与欧几里得群各自仅存在一族左不变CR结构，后者为球面对称。
• SL₂(ℝ)的低维复表示提供了椭圆族与双曲族CR结构的显式CR嵌入或浸入。