[论文解读] Left invariant semi Riemannian metrics on quadratic Lie groups

Shirley Bromberg, Alberto Abad Medina|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用 3

一句话总结

该论文建立了在二次李群上左不变半黎曼度量平坦性的充要条件，证明此类度量始终完备。研究表明，非交换二次李群无法容纳平坦的黎曼或洛伦兹度量，但每个3步幂零二次李群均存在一个平坦的左不变半黎曼度量，且当维数超过8时，存在无穷多个非等距的此类度量。

ABSTRACT

To determine the Lie groups that admit a flat (eventually complete) left invariant semi-Riemannian metric is an open and difficult problem. The main aim of this paper is the study of the flatness of left invariant semi Riemannian metrics on quadratic Lie groups i.e. Lie groups endowed with a bi-invariant semi Riemannian metric. We give a useful necessary and sufficient condition that guaranties the flatness of a left invariant semi Riemannian metric defined on a quadratic Lie group. All these semi Riemannian metrics are complete. We show that there are no Riemannian or Lorentzian flat left invariant metrics on non Abelian quadratic Lie groups, and that every quadratic 3 step nilpotent Lie group admits a flat left invariant semi Riemannian metric. The case of quadratic 2 step nilpotent Lie groups is also addressed.

研究动机与目标

• 确定在二次李群上左不变半黎曼度量平坦的条件。
• 解决关于分类存在平坦（且完备）左不变半黎曼度量的李群这一开放问题。
• 分析幂零二次李群上平坦左不变半黎曼度量的存在性与分类，特别是2步与3步幂零情形。
• 建立经典杨-巴克斯特定理解与对偶李群上平坦左不变半黎曼度量之间的联系。

提出的方法

• 利用Levi-Civita乘积与曲率张量分析，推导出单模李群上左不变半黎曼度量平坦性的条件。
• 应用二次（正交）李群上双不变半黎曼度量的理论，其中度量在左和右平移下均保持不变。
• 通过度量在李代数上的反射性质，分析二次李群上的Jacobi场与共轭点。
• 通过保持下降中心列的对称线性同构 $ u $ 构造平坦的左不变半黎曼度量。
• 利用Vinberg-Elashvili对三形式的分类，证明当 $ \dim V \geq 9 $ 时存在无穷多个非共轭的三形式，从而在相关李群上存在无穷多个非等距的平坦度量。
• 利用经典杨-巴克斯特定理解与对偶李群上平坦度量之间的对偶性，生成新例子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二次李群上，左不变半黎曼度量平坦的充要条件是什么？
• RQ2 非交换二次李群能否容纳平坦的黎曼或洛伦兹左不变度量？
• RQ3 哪些幂零二次李群存在平坦的左不变半黎曼度量，且存在多少个非等距的此类度量？
• RQ4 经典杨-巴克斯特定理解与对偶李群上平坦左不变半黎曼度量的存在性之间有何关系？

主要发现

• 在二次李群上，左不变半黎曼度量平坦当且仅当其关联的李代数上的对称线性同构 $ u $ 满足涉及Levi-Civita乘积的特定代数条件。
• 所有在二次李群上平坦的左不变半黎曼度量都是测地完备的。
• 没有非交换二次李群能容纳平坦的左不变黎曼或洛伦兹度量。
• 每个3步幂零二次李群至少存在一个平坦的左不变半黎曼度量。
• 当 $ \dim G > 8 $ 时，0余维的2步幂零二次李群存在无穷多个非等距的平坦左不变半黎曼度量。
• 当 $ \dim V \geq 9 $ 时，Vinberg-Elashvili分类确保存在无穷多个非共轭的三形式，从而在相关李群上存在无穷多个非等距的平坦度量。