[论文解读] Left localizable rings and their characterizations

V. V. Bavula|arXiv (Cornell University)|May 18, 2014

Rings, Modules, and Algebras参考文献 1被引用 7

一句话总结

本文引入了左局部化环——即每个非零元素在某个左局部化中可逆的环。证明了当环具有有限多个极大左分母集时，该环是左局部化的充分必要条件是其最大的左商环是除环的有限直积，从而在该条件下给出了完整的刻画。

ABSTRACT

A new class of rings, the class of left localizable rings, is introduced. A ring $R$ is left localizable if each nonzero element of $R$ is invertible in some left localization $S^{-1}R$ of the ring $R$. Explicit criteria are given for a ring to be a left localizable ring provided the ring has only finitely many maximal left denominator sets (eg, this is the case if a ring has a left Artinian left quotient ring). It is proved that a ring with finitely many maximal left denominator sets is a left localizable ring iff its left quotient ring is a direct product of finitely many division rings. A characterization is given of the class of rings that are finite direct product of left localization maximal rings.

研究动机与目标

• 定义并研究一类新环：左局部化环，其中每个非零元素在某个左局部化中可逆。
• 在存在有限多个极大左分母集的条件下，刻画左局部化环。
• 通过其左商环，建立左局部化环与除环有限直积之间的结构联系。
• 为环是有限多个左局部化极大环的直积提供判别准则。
• 分析左Ore集的核及其在刻画左局部化环中的作用。

提出的方法

• 将左局部化环定义为：每个非零元素在某个左局部化 $ S^{-1}R $ 中可逆的环。
• 使用最大的左商环 $ Q_l(R) = S_0^{-1}R $，其中 $ S_0 $ 是最大的正则左分母集。
• 利用极大左分母集 $ S_1, \dots, S_n $ 及其关联的理想 $ \mathfrak{a}_i = \text{ass}(S_i) $。
• 应用典范同态 $ \sigma: R \to \prod_{i=1}^n S_i^{-1}R $，以关联环的结构与局部化行为。
• 将左Ore集 $ S $ 的核 $ S_c $ 定义为满足 $ \ker(s\cdot) = \text{ass}(S) $ 的元素 $ s \in S $ 的集合，并证明 $ S_c^{-1}R \simeq S^{-1}R $。
• 利用同构 $ \theta: S_c^{-1}R \to S^{-1}R $ 说明局部化仅依赖于核，从而简化结构分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，一个环允许存在一种左局部化，使得每个非零元素都可逆？
• RQ2 当一个环具有有限多个极大左分母集时，其何种结构条件可推出它是左局部化的？
• RQ3 左局部化环如何通过其左商环与除环的有限直积相关联？
• RQ4 左Ore集的核在刻画左局部化环中起什么作用？
• RQ5 在何种条件下，一个环同构于有限多个左局部化极大环的直积？

主要发现

• 若环 $ R $ 具有有限多个极大左分母集，则 $ R $ 是左局部化的当且仅当其最大的左商环 $ Q_l(R) $ 是除环的有限直积。
• 典范映射 $ \sigma: R \to \prod_{i=1}^n S_i^{-1}R $ 是单射，且每个 $ S_i^{-1}R $ 是除环，当且仅当 $ R $ 是左局部化的。
• 左局部化根 $ \mathfrak{l}_R $ 为零当且仅当 $ R $ 是左局部化的且具有有限多个极大左分母集。
• 对于满足 $ n = |\text{max.Den}_l(R)| < \infty $ 的左局部化环，其经典左商环 $ Q_{l,cl}(R) $ 同构于 $ n $ 个除环的直积。
• 当 $ n \geq 2 $ 时，极大左分母集 $ S_i $ 的核 $ S_{i,c} $ 满足 $ S_{i,c} = S_i \cap \bigcap_{j \neq i} \mathfrak{a}_j $，其中 $ \mathfrak{a}_j = \text{ass}(S_j) $。
• 若 $ n = 1 $，则 $ S_{1,c} = S_1 = R \setminus \{0\} $，即 $ R $ 是整环，且 $ S_1 $ 为所有非零元素的集合。