[论文解读] Left-right crossings in the Miller-Abrahams random resistor network on a Poisson point process

Alessandra Faggionato, Hlafo Alfie Mimun|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 7被引用 1

一句话总结

本文研究了在 $\mathbb{R}^d$ ($d \geq 2$) 上的泊松点过程上的米勒-亚伯拉罕随机电阻网络，其中电导率随距离呈指数衰减，并依赖于独立同分布的标记。在有界且非负（或非正）的标记下，证明了在超临界相中，$n \times n$ 方盒内顶点不相交的左右交叉路径数量以高概率至少为 $Cn^{d-1}$，这是证明莫特定律的关键一步。

ABSTRACT

We consider the Miller-Abrahams (MA) random resistor network built on a homogeneous Poisson point process (PPP) on $\mathbb{R}^d$, $d\geq 2$. Points of the PPP are marked by i.i.d. random variables and the MA random resistor network is obtained by plugging an electrical filament between any pair of distinct points in the PPP. The conductivity of the filament between two points decays exponentially in their distance and depends on their marks in a suitable form prescribed by electron transport in amorphous materials. The graph obtained by keeping filaments with conductivity lower bounded by a threshold $\vartheta$ exhibits a phase transition at some $\vartheta_{ m crit}$. Under the assumption that the marks are nonnegative (or nonpositive) and bounded, we show that in the supercritical phase the maximal number of vertex-disjoint left-right crossings in a box of size $n$ is lower bounded by $Cn^{d-1}$ apart an event of exponentially small probability. This result is one of the main ingredients entering in the proof of Mott's law in [4].

研究动机与目标

• 分析在 $\ mathbb{R}^d$ ($d \geq 2$) 上的齐次泊松点过程上的米勒-亚伯拉罕随机电阻网络的连通性特性。
• 理解网络电导结构中的相变，特别是超临界区域中的行为。
• 在大小为 $n$ 的方盒中，建立顶点不相交左右交叉路径数量的下界，这对于证明莫特定律至关重要。

提出的方法

• 将网络建模为一个随机图，其中所有泊松点对之间均形成边，电导率随距离呈指数衰减，并依赖于独立同分布的标记。
• 定义一个阈值 $\vartheta$，仅保留电导率 $\geq \vartheta$ 的细丝，从而形成一个随机子图。
• 使用概率技术分析 $\vartheta > \vartheta_{\text{crit}}$ 时诱导子图的连通性，重点关注超临界相。
• 应用大偏差和渗滤论证，证明顶点不相交左右交叉路径的数量以高概率至少以 $Cn^{d-1}$ 的速率增长。
• 利用标记的有界性及符号约束（非负或非正）来控制电导率的波动，确保连通性的稳健性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在泊松点过程上的米勒-亚伯拉罕网络的超临界相中，大小为 $n$ 的方盒内顶点不相交左右交叉路径数量的渐近行为是什么？
• RQ2 电导率随距离呈指数衰减且依赖于独立同分布标记的特性，如何影响网络的连通性？
• RQ3 能否在指数小概率事件之外，为这类交叉路径的数量建立 $Cn^{d-1}$ 量级的下界？
• RQ4 标记的有界性及符号约束在确保该连通性标度中起到什么作用？

主要发现

• 在超临界相中，大小为 $n$ 的方盒内顶点不相交左右交叉路径的数量以高概率至少为 $Cn^{d-1}$，其中 $C > 0$ 是与 $n$ 无关的常数。
• 该结果在标记有界且全部非负或全部非正的假设下成立，确保了电导率行为的稳定性。
• 偏离该下界概率随 $n$ 指数衰减，表明该标度行为具有极强的典型性。
• 该网络在超临界区域内表现出高度稳健的连通性，与宏观导电通路的出现一致。