[论文解读] Legendre transformation for regularizable Lagrangians in field theory

Olga Krupková, Dana Smetanová|ArXiv.org|Nov 1, 2001

Geophysics and Gravity Measurements参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文通过使用Lepagean等价形式，为场论中可正则化的拉格朗日量引入了一种广义Legendre变换，使得通常在标准理论下非正则的奇异拉格朗日量（如狄拉克场和电磁场的拉格朗日量）能够建立哈密顿形式。关键贡献在于为一阶场论中的仿射和二次拉格朗日量提供了一致且无约束的哈密顿框架。

ABSTRACT

Hamilton equations based not only upon the Poincare--Cartan equivalent of a first-order Lagrangian, but rather upon its Lepagean equivalent are investigated. Lagrangians which are singular within the Hamilton--De Donder theory, but regularizable in this generalized sense are studied. Legendre transformation for regularizable Lagrangians is proposed, and Hamilton equations, equivalent with the Euler--Lagrange equations, are found. It is shown that all Lagrangians affine or quadratic in the first derivatives of the field variables are regularizable. The Dirac field and the electromagnetic field are discussed in detail.

研究动机与目标

• 为在标准正则性条件下奇异但可通过Lepagean等价形式正则化的拉格朗日量发展Legendre变换。
• 建立与此类可正则化拉格朗日量的Euler–Lagrange方程等价的哈密顿方程（特别是哈密顿 $p_2$-方程）。
• 证明所有关于场变量一阶导数为仿射或二次的拉格朗日量均可在此广义框架下正则化，并在哈密顿形式中避免约束。
• 利用此广义方法，为狄拉克场和电磁场显式给出共轭动量和哈密顿量。
• 证明在某些条件下，哈密顿 $p_2$-方程与等价拉格朗日量的标准哈密顿方程一致。

提出的方法

• 使用至多为2-接触形式的拉格朗日量的Lepagean等价形式，扩展了传统的Poincaré–Cartan形式。
• 应用哈密顿 $p_2$-方程，即从Lepagean等价形式而非标准Poincaré–Cartan形式导出的哈密顿动力学广义形式。
• 引入基于矩阵 $\left(\frac{\partial^2 L}{\partial y^\sigma_i \partial y^\nu_k} + \frac{\partial^2 L}{\partial y^\sigma_k \partial y^\nu_i}\right)$ 非退化性的正则性条件，该条件推广了标准Hessian条件。
• 通过广义Hessian的共轭动量映射求逆，推导Legendre变换，确保仿射和二次拉格朗日量的可逆性。
• 利用动量的逆变换在Legendre坐标中构造哈密顿量，确保其与Euler–Lagrange方程等价。
• 将该形式化方法应用于狄拉克场和电磁场，计算显式动量和哈密顿量，并验证其与已知场方程的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为在标准正则性条件下奇异但可通过Lepagean等价形式正则化的拉格朗日量一致地定义Legendre变换？
• RQ2 从Lepagean形式导出的哈密顿 $p_2$-方程是否与奇异但可正则化拉格朗日量的Euler–Lagrange方程等价？
• RQ3 在此广义框架下，所有关于一阶导数为仿射或二次的拉格朗日量是否均可正则化，且是否能实现无约束的哈密顿形式化？
• RQ4 该广义Legendre变换能否恢复如狄拉克场和电磁场等特定物理场的标准哈密顿结构？
• RQ5 在何种条件下，哈密顿 $p_2$-方程与等价拉格朗日量的标准哈密顿方程一致？

主要发现

• 所有关于场变量一阶导数为仿射或二次的拉格朗日量，在所提出的框架下均可正则化，因为广义Hessian矩阵是非退化的。
• 对于电磁场拉格朗日量 $L = \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$，矩阵 $\left(\frac{\partial^2 L}{\partial y^\sigma_i \partial y^\nu_k} + \frac{\partial^2 L}{\partial y^\sigma_k \partial y^\nu_i}\right)$ 是非退化的，证实了其可正则化性。
• 电磁场的共轭动量为：当 $\mu \ne \nu$ 时，$p^\mu_\nu = 4\partial_\nu A^\mu - 3\partial^\mu A^\nu$；当 $\mu = \nu$ 时，$p^\mu_\mu = 4\sum_{\alpha \ne \mu} \partial_\alpha A^\mu$，其逆变换已显式计算。
• 电磁场在Legendre坐标下的哈密顿量为 $H = -\frac{1}{12}\sum (p^\mu_\mu)^2 - \frac{1}{16}\sum (p^\mu_\nu)^2 - \frac{3}{8}\sum p^\mu_\nu p^\nu_\mu$，并包含来自dedonderization的附加项。
• 在 $X = \mathbb{R}^2$ 中的狄拉克场，其动量为：$p^1_1 = 4y^2_2$，$p^1_2 = -3y^1_2 + y^2_1$，$p^2_2 = 4y^1_1$，$p^2_1 = y^1_2 - 3y^2_1$，哈密顿量为 $H = \frac{1}{4}p^1_1 p^2_2 - \frac{3}{8}p^1_2 p^2_1 - \frac{1}{16}(p^1_2)^2 - \frac{1}{16}(p^2_1)^2$。
• 电磁场的哈密顿 $p_2$-方程与麦克斯韦方程等价，证实了其与标准场论的一致性。