[论文解读] Legendrian Submanifolds in $R^{2n+1}$ and Contact Homology

Tobias Ekholm, John B. Etnyre+1 more|ArXiv.org|Oct 8, 2002

Geometric and Algebraic Topology参考文献 25被引用 6

一句话总结

该论文通过在 $\mathbb{C}^n$ 中使用具有拉格朗日子边界条件的全纯圆盘的模空间，严格定义了标准接触 $(2n+1)$-维空间中勒格朗日子流形的接触同调，建立了一个新不变量，能够检测具有相同经典不变量但非勒格朗日同痕的 $n$-球面、$n$-环面和曲面的无限族，从而揭示了高维勒格朗日纽结中超越经典不变量的丰富结构。

ABSTRACT

Contact homology for Legendrian submanifolds in standard contact $(2n+1)$-space is rigorously defined using moduli spaces of holomorphic disks with Lagrangian boundary conditions in complex $n$-space. It provides new invariants of Legendrian isotopy. Using these invariants the theory of Legendrian isotopy is shown to be very rich. For example, infinite families of pairwise non-isotopic Legendrian $n$-spheres and $n$-tori, which are indistinguishable by means of previously known invariants, are constructed. In a sense, the definition of contact homology presented in this paper is a high dimensional analog of the work of Chekanov and others on Legendrian 1-knots in 3-space.

研究动机与目标

• 在高维接触流形中，特别是标准接触 $\mathbb{R}^{2n+1}$ 中，发展一个严格且可计算的勒格朗日同痕不变量。
• 通过全纯曲线技术，将接触同调框架从三维勒格朗日纽结推广到高维勒格朗日子流形。
• 证明经典不变量（托尔斯坦-本尼昆不变量和旋转类）在 $n > 1$ 维中不足以分类勒格朗日同痕类型。
• 通过在 $\mathbb{C}^n$ 中边界位于投影上的全纯圆盘构造新不变量，并证明其在勒格朗日同痕下的不变性。
• 证明接触同调能检测具有相同经典不变量但非同痕的无限族勒格朗日 $n$-球面、$n$-环面和曲面。

提出的方法

• 通过微分代数 $({\mathcal{A}}, \partial)$ 定义接触同调，其中生成元对应勒格朗日子流形在 $\mathbb{C}^n$ 中投影的二重点。
• 通过计数在 $\mathbb{C}^n$ 中具有拉格朗日子边界条件和在投影二重点处有穿孔的刚性全纯圆盘来构造微分 $\partial$。
• 通过共形重参数化和泡树分析对全纯圆盘的模空间进行紧化，以确保紧致性和收敛性。
• 对勒格朗日子流形的通用单参数族下的模空间分岔进行分析，以证明其在勒格朗日同痕下的不变性。
• 利用勒格朗日浸入的 $h$-原理，将正则同痕类与勒格朗日子流形的旋转类联系起来。
• 应用辛场论和全纯曲线理论的结果，包括紧致性定理和面积估计，以控制极限中的能量集中和点质量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过全纯曲线在 $\mathbb{R}^{2n+1}$ 中对勒格朗日子流形的接触同调进行严格定义？
• RQ2 当经典不变量固定时，接触同调是否能检测非勒格朗日同痕的勒格朗日 $n$-球面、$n$-环面和曲面？
• RQ3 接触同调在勒格朗日同痕下是否为不变量？其不变性如何通过模空间分岔证明？
• RQ4 在 $n > 1$ 维中，该理论能否检测具有相同经典不变量的无限族非同痕勒格朗日子流形？
• RQ5 勒格朗日子流形在 $\mathbb{C}^n$ 中的投影与定义接触同调所用的全纯圆盘之间有何关系？

主要发现

• 接触同调在标准接触 $\mathbb{R}^{2n+1}$ 中的勒格朗日子流形上定义良好且在勒格朗日同痕下不变，提供了一个新的代数不变量。
• 对于任意 $n > 1$，在 $\mathbb{R}^{2n+1}$ 中存在无限族勒格朗日 $n$-球面，尽管其经典不变量相同，但彼此之间并非勒格朗日同痕。
• 该理论能检测具有固定托尔斯坦-本尼昆不变量和旋转类的无限同痕类勒格朗日 $n$-环面和曲面。
• 对于任意 $N > 0$，存在勒格朗日同痕类的 $n$-球面和 $n$-环面，其经典不变量固定，但其在 $\mathbb{R}^{2n}$ 上的投影中至少包含 $N$ 个二重点。
• 接触同调微分通过计数边界位于投影拉格朗日子流形上且在二重点处有穿孔的刚性全纯圆盘来定义，推广了切卡诺夫在三维情形的构造。
• 不变性证明依赖于对通用勒格朗日同痕下全纯圆盘模空间分岔的分析，类似于弗洛尔理论的技术。