[论文解读] Leibniz, Information, Math and Physics

Gregory J. Chaitin|ArXiv.org|Jun 20, 2003

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文主张，莱布尼茨在1686年便预见了算法信息论（AIT）的核心思想，提出宇宙由简单规律支配，这些规律可压缩复杂现象——这与AIT的观点相呼应，即通过最小程序实现理解即压缩。本文在数学、物理与信息论之间建立了深刻的观念联系，表明两门学科均依赖于通过最小化复杂性来实现理解。

ABSTRACT

The information-theoretic point of view proposed by Leibniz in 1686 and developed by algorithmic information theory (AIT) suggests that mathematics and physics are not that different. This will be a first-person account of some doubts and speculations about the nature of mathematics that I have entertained for the past three decades, and which have now been incorporated in a digital philosophy paradigm shift that is sweeping across the sciences.

研究动机与目标

• 证明莱布尼茨1686年《形而上学 discourse》中包含算法信息论的原始理论，特别是表明假设的简洁性与解释力之间存在对应关系。
• 论证数学与物理在本质上并无根本区别，二者均依赖于将数据压缩为简洁的规律或公理。
• 将算法信息论（AIT）定位为莱布尼茨关于由简单却富有表现力的原则所支配的宇宙之愿景的现代实现。
• 提出数学真理的探索应采纳类似物理学的实证、实验方法，尤其是在形式证明过长或不可靠时。
• 将人类智力进步定义为逐步确定Chaitin的停止概率Ω中更多比特的能力，该值衡量数学创造力与不可约性。

提出的方法

• 将算法信息定义为能够计算给定对象的最小程序的大小，使用程序大小复杂性作为随机性与结构的度量。
• 将此框架应用于科学理论，其中优秀理论即为能重现观测数据的最小程序，从而将理论等同于压缩。
• 利用算法随机性的概念，表明当不存在比数据本身更小的程序时，数据即为不可约且无结构的。
• 将莱布尼茨“当规则极其复杂时，符合它的事物即被视为不规则”的主张重新诠释为算法随机性现代定义的先驱。
• 将数学定理与物理定律视为观测的压缩描述，二者均为信息论压缩的实例。
• 提出衡量智力进步不应以已证明定理的数量为标准，而应以可确定的ChaitinΩ中比特数为标准，反映对数学创造力的逐步接近。

实验结果

研究问题

• RQ1 莱布尼茨1686年对规律简洁性的观念如何预见了现代算法信息论？
• RQ2 从信息论压缩的视角看，数学与物理在哪些方面本质上是相似的？
• RQ3 当形式证明过长或不可靠时，数学推理能否有意义地采用类似物理学的实证方法？
• RQ4 在数字科学哲学的框架下，不可约的数学事实——即无法用更短描述表达的事实——起何作用？
• RQ5 如何利用停止概率Ω量化人类智力进步？这又对人类理解的极限意味着什么？

主要发现

• 莱布尼茨1686年提出的‘当规则极其复杂时，符合它的事物即被视为不规则’，直接预见了现代算法随机性的定义。
• 本文确立了科学定律与数学公理均作为压缩性描述：理论即为生成数据的最小程序，正如公理系统生成定理。
• 无法压缩为更短证明的数学定理是不可约的，因此无法从更简单的原理推导而出，这在信息论形式下呼应了哥德尔不完备定理。
• 黎曼猜想与P ≠ NP猜想因其经验上的稳健性及难以证明的特性，被提议作为新公理的强有力候选，反映出向实验数学的转变。
• 人类智力进步可由可确定的Chaitin停止概率Ω的比特数来衡量，每一比特代表向更深层次数学洞察迈出的一步。
• 以莱布尼茨关于宇宙规则简洁而现象丰富的愿景为基础的数字哲学范式，如今正通过算法信息论与复杂系统研究得以实现。