[论文解读] Leibniz rule, locality and supersymmetry on lattice

Mitsuhiro Kato, Makoto Sakamoto+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2012

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文證明了有限體積格點場論中萊布尼茨法則的無解定理，顯示局部差分算符必須伴隨非局部乘積規則。文章識別出一類新解，其中超對稱可透過非局部乘積實現，並透過離散動量空間分析與味矩陣形式論，解決了有限味系統與無限味理論矩陣表達之間長期存在的矛盾。

ABSTRACT

In a finite volume system, we prove a no-go theorem on a Leibniz rule with a care of locality argument on latttice. The new possibility on the Leibniz rule solutions on lattice is discussed. Although the new solution admits a local difference operator, a non-local product rule is needed. In the case, a supersymmetric interacting theory is simply realized. The difference between finite flavor systems and matrix representations of infinite flavor systems is explained based on a finite volume system analysis including the no-go theorem.

研究动机与目标

• 解決在超對稱背景下，有限味格點系統與無限味理論矩陣表達之間的不一致性。
• 透過使用離散有界函數而非全純函數，建立一個具備局域性與平移不變性的有限體積格點框架。
• 釐清在格點上滿足萊布尼茨法則的條件，同時保持局域性與超對稱性。
• 根據萊布尼茨法則的符合程度與局域性，分析多味系統與矩陣表達之間的差異。

提出的方法

• 透過單位根的離散動量表達定義格點算符與乘積規則。
• 透過引入動量空間函數的複數延拓（帶有微小虛部）來定義局域性條件，方法為指數衰減。
• 引入味矩陣形式論，將解分類為A型（差分算符平凡）與B型（乘積規則平凡）。
• 推導出無限味矩陣表達中涉及非零餘項 R_L,M^pqr(ε) 的矩陣形式修改版萊布尼茨法則。
• 應用有限系統無解定理，顯示非平凡的局域差分算符會迫使有限味系統中的乘積規則變為平凡。
• 使用若爾當標準型參數化味空間中的差分算符，從而實現解的明確分類。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限格點上，非平凡的局域差分算符能否與非平凡的乘積規則共存，同時滿足萊布尼茨法則？
• RQ2 為何無限味系統的矩陣表達能避開有限味系統中萊布尼茨法則的無解定理？
• RQ3 具有複數位移的離散動量空間函數在定義有限格點上的局域性時扮演何種角色？
• RQ4 有限味系統與無限味系統的矩陣表達之間，萊布尼茨法則的解有何差異？
• RQ5 當萊布尼茨法則僅透過非局域乘積規則滿足時，超對稱能否在格點上一致實現？

主要发现

• 無解定理證明：在有限體積格點系統中，非平凡的局域差分算符會迫使乘積規則變為平凡或非局域。
• 存在一類新解，其中差分算符為局域，但乘積規則為非局域，從而可構造出具有相互作用的超對稱理論。
• 無限味系統的矩陣表達能避開無解定理，是因為萊布尼茨法則中存在非零餘項 R_L,M^pqr(ε)，此項源自味空間的邊界條件。
• 在有限味系統中，萊布尼茨法則僅在差分算符或乘積規則其中之一為平凡時才可滿足，因而可分類為A型與B型味。
• 帶有複數位移的離散動量空間分析提供了局域性的充分必要條件，以 O(N⁰) 界對變換後算符的表達。
• 第二類解中的非局域乘積規則允許構造出具有相互作用的一致超對稱作用量，為格點超對稱提供了一條可行路徑。