[论文解读] Leibniz superalgebras and central extensions

Dong Liu, Naihong Hu|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2005

Advanced Topics in Algebra参考文献 11被引用 7

一句话总结

本文引入了超级双代数（super dialgebras）和李超代数（Leibniz superalgebras）作为双代数（dialgebras）和李代数（Leibniz algebras）的 $Χ_2$-分次类比，并在李超代数范畴中为基本经典李超代数与含单位元的交换双代数的张量积建立了普遍中心扩张（UCE）。关键结果表明，在李超代数范畴中，${} \mathfrak{g} \otimes D$ 的 UCE 为 $\tilde{\mathfrak{g}} = \bar{\mathfrak{g}} \otimes D \oplus \Omega_D^1$，其中 $\Omega_D^1$ 是凯勒微分模，该结果推广了李超代数理论中的已知结果。

ABSTRACT

Dialgebras are generalizations of associative algebras which give rise to Leibniz algebras instead of Lie algebras. In this paper we study super dialgebras and Leibniz superalgebras, which are $\z_2$-graded dialgebras and Leibniz algebras. We also study universal central extesions of Leibniz superalgebras and obtain some results as in the case of Lie superalgebras. We determine universal central extensions of basic classical Lie superalgebras in the category of Leibniz superalgebras. They play a key role in studying Leibniz superalgebras graded by finite root systems.

研究动机与目标

• 将普遍中心扩张理论从李超代数扩展到李超代数。
• 将超级双代数和李超代数定义为双代数和李代数的 $Χ_2$-分次推广。
• 确定基本经典单李超代数 ${\bf\mathfrak{g}}$ 与含单位元的交换双代数 $D$ 的张量积 ${\bf\mathfrak{g}} \otimes D$ 的普遍中心扩张的结构。
• 建立李超代数上同调与凯勒微分之间的联系，特别是 $\Omega_D^1$。
• 为研究按有限根系分次的李超代数提供基础工具。

提出的方法

• 将超级双代数定义为满足双代数公理的、具有相容左乘与右乘的 $Χ_2$-分次双代数。
• 将李超代数引入为满足李恒等式 $[[x,y],z] = [[x,z],y] + [x,[y,z]]$ 的 $Χ_2$-分次代数，其中元素为齐次元素。
• 将 ${\bf\mathfrak{g}} \otimes D$ 的普遍中心扩张 $\tilde{\mathfrak{g}}$ 构造为 $\bar{\mathfrak{g}} \otimes D \oplus \Omega_D^1$，其中 $\Omega_D^1$ 是 $D$ 上的凯勒微分模。
• 利用李超代数的上同调框架与康奈斯算子（Connes operator）分析扩张代数的导子与自同构。
• 应用 [IK] 和 [HL] 的结果，将 UCE 的核与 $\Omega_D^1$ 或 $HHL_1(D)$ 关联，具体取决于 $D$ 的代数结构。
• 建立上同调群与微分模之间的同构关系，特别是对于非类型 $A(n,n)$ 的情况，有 $HL^2({\bf\mathfrak{g}} \otimes D) \cong \Omega_D^1$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在李超代数范畴中，基本经典李超代数与含单位元的交换双代数张量积的普遍中心扩张的结构是什么？
• RQ2 ${\bf\mathfrak{g}} \otimes D$ 的普遍中心扩张的核如何与凯勒微分模 $\Omega_D^1$ 相关？
• RQ3 超级双代数与李超代数以何种方式将双代数与李代数的理论推广到分次超代数设定？
• RQ4 普遍中心扩张 $\tilde{\mathfrak{g}}$ 的导子代数与自同构群如何根据原代数与双代数 $D$ 分解？
• RQ5 对于不同类型的基本经典李超代数，上同调 $HL^2({\bf\mathfrak{g}} \otimes D)$ 与微分模 $\Omega_D^1$ 之间存在何种关系？

主要发现

• 在李超代数范畴中，${\bf\mathfrak{g}} \otimes D$ 的普遍中心扩张为 $\tilde{\mathfrak{g}} = \bar{\mathfrak{g}} \otimes D \oplus \Omega_D^1$，其中 $\Omega_D^1$ 是含单位元的交换双代数 $D$ 上的凯勒微分模。
• 对于非类型 $A(n,n)$ 的基本经典李超代数，第二上同调群满足 $HL^2({\bf\mathfrak{g}} \otimes D) \cong \Omega_D^1$，确认 UCE 的核同构于 $\Omega_D^1$。
• 对于类型 $A(n,n)$ 且 $n > 1$ 的情况，第二上同调群为 $HL^2({\bf\mathfrak{g}} \otimes D) \cong \Omega_D^1 \oplus D$，表明其核大于非类型 $A(n,n)$ 的情况。
• 对于类型 $A(1,1)$，上同调群为 $HL^2({\bf\mathfrak{g}} \otimes D) \cong \Omega_D^1 \oplus D^{\oplus 3}$，显示出显著更复杂的结构。
• 代数 $\tilde{\mathfrak{g}}$ 的导子代数为 $\hbox{Der}(A) \ltimes \hbox{Inn}({\bf\mathfrak{g}})$，其中 $\hbox{Der}(A) = \sum_{i=1}^\nu A \frac{\partial}{\partial t_i}$，反映了基代数 $A$ 的导子结构。
• 代数 $\tilde{\mathfrak{g}}$ 的自同构群同构于 $\hbox{Aut}({\bf\mathfrak{g}} \otimes D)$，保持了原李超代数与双代数的张量积结构。