[论文解读] Lemniscate Convexity and Other Properties of Generalized Bessel Functions

Vibha Madaan, Ajay Kumar+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2019

Analytic and geometric function theory参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文利用微分次序方法研究广义化和归一化的贝塞尔函数的双纽线凸性和其他几何性质。研究建立了参数 $p$、$b$ 和 $c$ 的充分条件，使得函数 $u_{p,b,c}(z)$ 满足对 $\sqrt{1+z}$ 的次序关系，从而蕴含双纽线凸性或双纽线星形性，并推导了归一化洛姆尔函数 $h_{\mu,p}(z)$ 的类似结果，包括亚历山大变换的性质。

ABSTRACT

Sufficient conditions on associated parameters $p,b$ and $c$ are obtained so that the generalized and extquotedblleft{normalized} extquotedblright{} Bessel function $u_p(z)=u_{p,b,c}(z)$ satisfies $|(1+(zu''_p(z)/u'_p(z)))^2-1|<1$ or $|((zu_p(z))'/u_p(z))^2-1|<1$. We also determine the condition on these parameters so that $-(4(p+(b+1)/2)/c)u'_p(z)\prec\sqrt{1+z}$. Relations between the parameters $μ$ and $p$ are obtained such that the normalized Lommel function of first kind $h_{μ,p}(z)$ satisfies the subordination $1+(zh''_{μ,p}(z)/h'_{μ,p}(z))\prec\sqrt{1+z}$. Moreover, the properties of Alexander transform of the function $h_{μ,p}(z) $ are discussed.

研究动机与目标

• 确定参数 $p$、$b$ 和 $c$ 的充分条件，使得广义化和归一化的贝塞尔函数 $u_{p,b,c}(z)$ 为双纽线凸或双纽线星形。
• 建立 $-(4(p+(b+1)/2)/c)u'_{p}(z) \prec \sqrt{1+z}$ 的次序条件。
• 分析归一化洛姆尔函数 $h_{\mu,p}(z)$ 的几何性质，特别是其对 $\sqrt{1+z}$ 的次序关系。
• 研究 $h_{\mu,p}(z)$ 的亚历山大变换及其对几何函数类的影响。

提出的方法

• 本研究采用微分次序理论，特别是米勒与莫卡努的方法，分析单位圆盘中解析函数的次序条件。
• 广义贝塞尔函数 $u_{p,b,c}(z)$ 通过包含 Pochhammer 符号的超几何型级数定义，并证明其为整函数。
• 推导出 $u_{p,b,c}(z)$ 和 $h_{\mu,p}(z)$ 的关键微分方程，利用函数不等式建立次序关系。
• 证明依赖于构造辅助函数 $p(z)$ 并应用引理 3.1，以在给定参数约束下验证复函数 $\psi(r,s,t;z)$ 的非零性。
• 分析涉及单位圆盘中 $\theta$、$m$ 和 $z$ 的复表达式实部与模的有界性，以确保 $\psi \neq 0$，从而确认次序关系。
• 通过确保在角度和模长约束下复表达式实部保持远离零，推导出参数约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 $p$、$b$ 和 $c$ 条件下，广义贝塞尔函数 $u_{p,b,c}(z)$ 为双纽线凸？
• RQ2 在何种条件下 $-(4(p+(b+1)/2)/c)u'_{p}(z)$ 次序于 $\sqrt{1+z}$？
• RQ3 对于哪些 $\mu$ 和 $p$，归一化洛姆尔函数 $h_{\mu,p}(z)$ 满足 $1 + (zh''_{\mu,p}(z)/h'_{\mu,p}(z)) \prec \sqrt{1+z}$？
• RQ4 $h_{\mu,p}(z)$ 的亚历山大变换表现出何种几何性质？

主要发现

• 推导出参数 $p$、$b$ 和 $c$ 的充分条件，使得 $|(1 + zu''_p(z)/u'_p(z))^2 - 1| < 1$，从而确保 $u_p(z)$ 的双纽线凸性。
• 当参数满足涉及 $p$、$b$ 和 $c$ 的特定不等式时，条件 $-(4(p+(b+1)/2)/c)u'_p(z) \prec \sqrt{1+z}$ 成立。
• 对于归一化洛姆尔函数 $h_{\mu,p}(z)$，当 $\operatorname{Re} \mu > -1$ 且 $p$ 满足 $\frac{3\operatorname{Re} \mu}{2\sqrt{2}} - \sqrt{3}\left|\frac{(\mu+1)^2 - p^2}{4} - 2\mu - 2\right| > \frac{13\sqrt{3}}{4} - \frac{15}{8\sqrt{2}} + \frac{1}{4}$ 时，条件 $1 + (zh''_{\mu,p}(z)/h'_{\mu,p}(z)) \prec \sqrt{1+z}$ 成立。
• 在推导出的参数约束下，$h_{\mu,p}(z)$ 的亚历山大变换保持对 $\sqrt{1+z}$ 的次序关系。
• 函数 $u_p(z)$ 为整函数，并满足微分方程 $4z^2 u''_p(z) + 4\kappa z u'_p(z) + c z u_p(z) = 0$，其中 $\kappa = p + (b+1)/2$。