[论文解读] Length of separable states and symmetrical informationally complete (SIC) POVM

Lin Chen|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2013

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文建立了对称信息完备正算子值测度（SIC-POVM）的存在性与可分态最小长度之间的深刻联系。证明了关于态 $ \rho_2 = \frac{2}{d^2 + d} S_d $ 的长度猜想 $ L(\rho_2) = d^2 $ 等价于在维度 $ d $ 中存在 SIC-POVM，从而将 SIC-POVM 存在性问题转化为一个可分性长度猜想。

ABSTRACT

This short note reviews the notion and fundamental properties of SIC-POVM and its connection with the length of separable states. We also review the t-design.

研究动机与目标

• 阐明可分态长度与对称信息完备正算子值测度（SIC-POVM）存在性之间的关系。
• 证明关于猜想 $ L(\rho_2) = d^2 $（其中 $ \rho_2 = \frac{2}{d^2 + d} S_d $）的等价性，即该猜想在维度 $ d $ 中成立当且仅当存在一个 SIC-POVM。
• 将 SIC-POVM 存在性问题重新表述为可分性长度问题，为解决这一长期悬而未决的开放问题提供了新途径。
• 将 SIC-POVM 与 t-设计（特别是紧致 2-设计）联系起来，并证明其存在性等价于 $ \rho_2 $ 的长度猜想。

提出的方法

• 使用 SIC-POVM 的定义：$ d^2 $ 个非归一化投影算符 $ \Pi_j = \frac{1}{d} |\psi_j\rangle\langle\psi_j| $，满足 $ |\langle\psi_j|\psi_k\rangle|^2 = \frac{1 + d\delta_{jk}}{d+1} $。
• 应用 SIC-POVM 的 2-设计性质，通过恒等式 $ \sum_{i=1}^{d^2} |\psi_i\rangle\!\langle\psi_i|^{\otimes 2} = \frac{2d}{d+1} S_d $，其中 $ S_d $ 是 $ \mathbb{C}^d \otimes \mathbb{C}^d $ 上的对称化算符。
• 分析态 $ \rho_2 = \frac{2}{d^2 + d} S_d $，证明其部分转置为 $ \rho_2^\Gamma = \frac{1}{d^2 + d}(I + |\Psi_d\rangle\!\langle\Psi_d|) $，其中 $ |\Psi_d\rangle = \sum_{i=1}^d |ii\rangle $。
• 建立 $ L(\rho_2) \geq \max\{ r(\rho_2), r(\rho_2^\Gamma) \} = d^2 $，且等式成立当且仅当在维度 $ d $ 中存在 SIC-POVM。
• 将问题与 t-设计联系起来，证明紧致 2-设计存在当且仅当 $ L(\rho_2) = d^2 $，且该条件等价于 SIC-POVM 的存在性。
• 利用已知的 t-设计结果，证明紧致 2-设计存在于 $ d = 2, \dots, 16, 19, 24, 28, 31, 35, 37, 43, 48 $，与已知的 SIC-POVM 构造一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有维度 $ d \geq 2 $，猜想 $ L(\rho_2) = d^2 $ 是否成立，其中 $ \rho_2 = \frac{2}{d^2 + d} S_d $？
• RQ2 在维度 $ d $ 中 SIC-POVM 的存在是否意味着 $ \rho_2 $ 的长度恰好为 $ d^2 $？
• RQ3 在维度 $ d $ 中紧致 2-设计的存在性是否等价于 SIC-POVM 的存在性？
• RQ4 SIC-POVM 存在性问题是否可约化为对态 $ \rho_2 $ 的可分性长度猜想？
• RQ5 是否存在某些维度 $ d $ 使得 $ L(\rho_2) > d^2 $，从而表明在这些维度中 SIC-POVM 不存在？

主要发现

• 态 $ \rho_2 = \frac{2}{d^2 + d} S_d $ 是可分的，且具有双秩 $ \left(\frac{d^2 + d}{2}, d^2\right) $，这意味着 $ L(\rho_2) \geq d^2 $。
• 对于 $ d = 2 $，长度 $ L(\rho_2) = d^2 $ 成立，且与维度 2 中已知的解析 SIC-POVM 一致。
• 对于所有 $ d \in \{2, \dots, 16, 19, 24, 28, 31, 35, 37, 43, 48\} $，等式 $ L(\rho_2) = d^2 $ 成立，这些维度中已知存在 SIC-POVM。
• 猜想 $ L(\rho_2) = d^2 $ 与在维度 $ d $ 中存在 SIC-POVM 等价，因此若该猜想为真，将彻底解决 SIC-POVM 存在性问题。
• 在维度 $ d $ 中紧致 2-设计的存在性等价于 $ L(\rho_2) = d^2 $，因此也等价于 SIC-POVM 的存在性。
• 本文表明，要么对所有 $ d \geq 2 $ 都有 $ L(\rho_2) = d^2 $，这意味着 SIC-POVM 在所有维度中普遍存在；要么对某些 $ d $ 有 $ L(\rho_2) > d^2 $，这意味着在这些维度中 SIC-POVM 不存在。