[论文解读] Length series on Teichmuller space

Greg McShane|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2004

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用 7

一句话总结

本文通过利用Wolpert关于长度变化的公式，证明了在穿孔环面的测地线角的发散级数在Teichmüller空间上定义了一个常值函数，其导数为零。关键结果是该级数和为$ lessalign{c} \pi$，通过在Deligne-Mumford紧化空间无穷远处的点处求值，并结合双曲长度的渐近分析与稳定范数得出。

ABSTRACT

We prove that a certain series defines a constant function using Wolpert's formula for the variation of the length of a geodesic along a Fenchel Nielsen twist. Subsequently we determine the value viewing it as function on the the Deligne Mumford compactification and evaluating it at the stable curve at infinity.

研究动机与目标

• 回答Jorgensen关于是否能使用Wolpert的长度变化公式证明双曲穿孔环面上简单测地线的恒等式$\sum \frac{2}{1 + \exp l_\gamma} = 1$的问题。
• 证明在映射类群作用下，测地线之间有符号角的 formally 发散级数在Teichmüller空间上定义了一个常值函数。
• 通过分析Deligne-Mumford紧化空间$\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$边界处的行为，确定该级数的常数值。
• 利用几何与动力系统技术，证明该级数的导数为零，从而说明其在Teichmüller空间上为常数。

提出的方法

• 通过在$\mathrm{Mod}(M)/\langle T_\gamma \rangle$上的陪集分解重写发散级数$\mathcal{Q} = \sum_{g \in \mathrm{Mod}(M)} g(\alpha) \vee g(\beta)$，将其简化为德恩旋转变换轨道上的求和。
• 应用引理1描述$T_\gamma^n(\gamma')$在双曲平面上的提升，表明提升后的测地线收敛于德恩变换生成元的轴端点。
• 利用提升后测地线的几何收敛性，对$n \in \mathbb{Z}$的内层求和进行错位相消，得到$\gamma^- \vee \gamma^+ = \pi - 2\arctan\left( \frac{\cosh(l_\delta/4)}{\sinh(l_\gamma/2)} \right)$。
• 通过在$\mathrm{Mod}(M)/\langle q \rangle$上的另一种陪集分解（其中$q$为阶为2的元素）重写$\mathcal{Q}$，表明每个陪集的角和为$\pi$，暗示总级数的常数性。
• 利用Mumford-Mahler紧致性准则，结合胶带引理与稳定范数对双曲长度进行渐近估计，分析当系统长度$\mathrm{sys}(x) \to 0$时的行为。
• 通过将$\mathrm{sech}$项的和近似为黎曼和，收敛于$\int_{-\infty}^\infty \mathrm{sech}(u)\,du = \pi$，计算无穷远处的级数极限，从而证明其常数值。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用Wolpert的长度变化公式证明穿孔环面上简单测地线的恒等式$\sum \frac{2}{1 + \exp l_\gamma} = 1$？
• RQ2 发散级数$\sum_{g \in \mathrm{Mod}(M)} g(\alpha) \vee g(\beta)$是否在Teichmüller空间上定义了一个常值函数？
• RQ3 级数$\sum_{g \in \mathrm{Mod}(M)} g(\alpha) \vee g(\beta)$的值是多少？其值能否通过Deligne-Mumford紧化空间边界处的行为计算得出？
• RQ4 该级数在双曲度量形变下的变化行为如何？为何其变化量为零？

主要发现

• 级数$\sum_{n \in \mathbb{Z}} T_\gamma^n(\gamma') \vee T_\gamma^{n+1}(\gamma')$错位相消后得到$\pi - 2\arctan\left( \frac{\cosh(l_\delta/4)}{\sinh(l_\gamma/2)} \right)$，这是由德恩变换动力学导出的关键几何恒等式。
• 总级数$\mathcal{Q}$在Teichmüller空间上为常数，因为其导数为零，这由$d\mathcal{Q}' = d\mathcal{Q}$及角和变化为零所证实。
• 在Deligne-Mumford紧化空间的无穷远处，该级数的值为$\pi$，通过将$\mathrm{sech}$项的和近似为$\mathbb{R}$上的积分计算得出。
• 极限$\lim_{\mathrm{sys}(x) \to 0} \sum_{n \in \mathbb{Z}} \cosh(l_\delta/4) \cdot \mathrm{sech}(l_{T^n(\gamma')}) = \pi$通过测地线长度的渐近估计与黎曼和收敛性得以确立。
• 当$\mathrm{sys}(x) \to 0$时，级数$\sum_{\gamma} \exp(-t l_\gamma)$的衰减速度为$o(\mathrm{sys}(x)^{-Nt - 2})$，为与固定测地线多次相交的曲线的和提供了关键的衰减估计。