[论文解读] Length structures on manifolds with continuous Riemannian metrics

Annegret Burtscher|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用 26

一句话总结

本文证明，在配备连续黎曼度量的流形上，绝对连续曲线的弧长与由黎曼距离诱导的度量长度一致。通过使用连续度量的光滑逼近并分析度量导数与解析导数的收敛性，作者证明即使在缺乏光滑性的情况下，标准长度结构依然有效，填补了低正则性黎曼几何中的关键空白。

ABSTRACT

It is well-known that the class of piecewise smooth curves together with a smooth Riemannian metric induces a metric space structure on a manifold. However, little is known about the minimal regularity needed to analyze curves and particularly to study length-minimizing curves where neither classical techniques such as a differentiable exponential map etc. are available nor (generalized) curvature bounds are imposed. In this paper we advance low-regularity Riemannian geometry by investigating general length structures on manifolds that are equipped with Riemannian metrics of low regularity. We generalize the length structure by proving that the class of absolutely continuous curves induces the standard metric space structure. The main result states that the arc-length of absolutely continuous curves is the same as the length induced by the metric. For the proof we use techniques from the analysis of metric spaces and employ specific smooth approximations of continuous Riemannian metrics. We thus show that when dealing with lengths of curves, the metric approach for low-regularity Riemannnian manifolds is still compatible with standard definitions and can successfully fill in for lack of differentiability.

研究动机与目标

• 确定仍可通过对度量空间结构一致定义曲线长度的黎曼度量的最小正则性。
• 解决在低正则性情形（如 $C^0$ 度量）下经典工具（如指数映射）失效的问题。
• 证明在缺乏 $C^{1,1}$ 正则性时，绝对连续曲线类所诱导的长度结构与分段光滑曲线类相同。
• 建立在 $C^0$ 黎曼流形上，绝对连续路径的度量导数与解析导数之间的等价性。
• 证明标准弧长泛函在该类流形上与由度量诱导的长度泛函一致。

提出的方法

• 使用分区单位技巧和局部 $C^0$-逼近，构造连续黎曼度量 $g$ 的光滑逼近 $g_n$。
• 证明与 $g_n$ 关联的距离函数 $d_n$ 一致收敛于由 $g$ 诱导的原始距离 $d$。
• 利用 $g_n$ 对 $g$ 的收敛性，以及光滑度量下 $|\dot{\gamma}|_n = \|\gamma'\|_{g_n}$ 的等价性，取极限。
• 应用法图引理与度量导数定义，证明对 $\gamma \in \mathcal{A}_{\mathrm{ac}}$ 有 $L_d(\gamma) = \int_I |\dot{\gamma}|(t)\,dt$。
• 通过光滑逼近下度量导数的收敛性，建立几乎处处有 $|\dot{\gamma}|(t) = \|\gamma'(t)\|_g$。
• 利用绝对连续路径上的变分拓扑，证明分段光滑曲线在 $\mathcal{A}_{\mathrm{ac}}$ 中稠密。

实验结果

研究问题

• RQ1 当度量仅为连续而非光滑时，黎曼流形上的标准长度结构是否仍可保持？
• RQ2 在 $C^0$ 设置下，绝对连续曲线的弧长是否与由黎曼距离诱导的度量长度等价？
• RQ3 当度量连续时，绝对连续曲线的度量导数是否与其中析导数的范数一致？
• RQ4 能否利用连续黎曼度量的光滑逼近来恢复如长度等价性等经典几何性质？
• RQ5 仍可对长度最小化曲线建立一致理论的黎曼度量的最小正则性是什么？

主要发现

• 在配备连续黎曼度量的流形上，所有绝对连续曲线 $\gamma$ 的弧长 $L(\gamma)$ 与由度量诱导的长度 $L_d(\gamma)$ 相等。
• 在该类流形上，度量导数 $|\dot{\gamma}|(t)$ 几乎处处与解析导数的范数 $\|\gamma'(t)\|_g$ 一致。
• 连续度量 $g$ 的光滑逼近 $g_n$ 所诱导的距离函数 $d_n$ 一致收敛于原始距离 $d$。
• 即使在缺乏 $C^{1,1}$ 正则性时，绝对连续曲线类所诱导的长度结构与分段光滑曲线类相同。
• 对所有 $\gamma \in \mathcal{A}_{\mathrm{ac}}$，有等式 $L = L_d = \widetilde{L}$ 成立，其中 $\widetilde{L}(\gamma) = \int_I |\dot{\gamma}|(t)\,dt$。
• 在 $\mathcal{A}_{\mathrm{ac}}$ 上的变分拓扑下，分段光滑曲线的稠密子集足以确定完整的长度结构。