[论文解读] Lens rigidity with partial data in the presence of a magnetic field

Hanming Zhou|arXiv (Cornell University)|May 20, 2016

Numerical methods in inverse problems参考文献 27被引用 3

一句话总结

本论文在维度至少为三的流形上，针对带有磁场所的共形黎曼度量，建立了局部透镜刚性。结果表明，从部分透镜数据（即单位速度磁测地线的散射关系与旅行时间）可唯一确定严格凸边界点附近的共形因子与磁场所。关键结果将边界刚性与透镜刚性推广至部分数据与共形不变性下的磁系统。

ABSTRACT

In this paper we consider the lens rigidity problem with partial data for conformal metrics in the presence of a magnetic field on a compact manifold of dimension $\geq 3$ with boundary. We show that one can uniquely determine the conformal factor and the magnetic field near a strictly convex (with respect to the magnetic geodesics) boundary point where the lens data is accessible. We also prove a boundary rigidity result with partial data assuming the lengths of magnetic geodesics joining boundary points near a strictly convex boundary point are known. The local lens rigidity result also leads to a global rigidity result under some strictly convex foliation condition. A discussion of a weaker version of the lens rigidity problem with partial data for general smooth curves is given at the end of the paper.

研究动机与目标

• 解决带有部分数据的磁系统透镜刚性问题，特别是存在磁场的情形。
• 确定在严格凸边界点附近，共形因子与磁场是否能从不完整的边界测量中唯一恢复。
• 在已知磁测地线长度于凸边界点附近的前提下，建立部分数据下的边界刚性结果。
• 在严格凸叶状结构条件下，推导全局刚性结果。
• 通过加权X射线变换，探讨一般光滑曲线的透镜刚性问题的较弱版本。

提出的方法

• 将透镜数据表述为单位球丛上单位速度磁测地线的散射关系 $L$ 与旅行时间 $ au$。
• 利用由哈密顿系统生成的磁流，其辛形式为 $\beta = \beta_0 + \pi^*\Omega$，其中 $\Omega$ 为表示磁场的闭2-形式。
• 应用一个积分恒等式（公式19），该恒等式涉及沿磁测地线的共形因子对数比值，由透镜数据相等性导出。
• 将问题约化为矩阵加权X射线变换 $I_{\mathcal{W}}\varphi = 0$，其中 $\mathcal{W}$ 为球丛上的可逆矩阵场。
• 通过类比测地流刚性中的论证，证明矩阵加权X射线变换 $I_{\mathcal{W}}$ 的局部可逆性，从而实现共形因子的唯一性。
• 通过奇异性的传播与微局部分析技术，将局部结果扩展至全局，从而在严格凸叶状结构条件下建立全局刚性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在存在磁场的情形下，黎曼度量的共形因子能否从部分透镜数据中唯一恢复？
• RQ2 在何种几何条件下，散射关系与旅行时间数据能唯一确定边界点附近的磁场与共形因子？
• RQ3 当仅获得部分数据时，磁系统透镜刚性问题与边界刚性问题之间有何关联？
• RQ4 加权X射线变换在从透镜数据恢复共形因子中起何种作用？
• RQ5 能否将刚性结果中的边界喷射假设弱化为仅要求边界相等？

主要发现

• 若透镜数据（散射关系与旅行时间）一致，且边界点处共形因子 $c$ 与 $\tilde{c}$ 的边界喷射相等，则共形因子 $c$ 在严格凸边界点邻域内唯一确定。
• 主结果中假设磁场 $G$ 固定，从而可在部分观测下从透镜数据恢复共形因子 $c$。
• 通过矩阵加权X射线变换 $I_{\mathcal{W}}$ 建立了局部透镜刚性结果，该变换被证明具有局部可逆性，从而蕴含共形因子的唯一性。
• 在严格凸叶状结构条件下，全局刚性结果成立，将局部结果推广至整个流形。
• 通过将问题约化为加权X射线变换，论文给出了针对一般光滑曲线的较弱刚性结果，但若无额外假设，其完全可逆性无法保证。
• 该结果在共形不变性下具有鲁棒性，适用于具有光滑边界的 $n \geq 3$ 维流形。