[论文解读] Leray--Hopf solutions to a viscoelastic fluid model with nonsmooth stress-strain relation

Thomas Eiter, Katharina Hopf+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Navier-Stokes equation solutions参考文献 10被引用 2

一句话总结

本文通过使用 Zaremba-Jaumann 导数描述应力输运，并引入具有应力扩散的非线性、非光滑耗散律，建立了具有非光滑应力-应变关系的粘弹性-粘塑性流体模型的全局时间弱解的存在性。关键贡献是在一般边界条件下对能量稳定解的严格证明。

ABSTRACT

We consider a fluid model including viscoelastic and viscoplastic effects. The state is given by the fluid velocity and an internal stress tensor that is transported along the flow with the Zaremba--Jaumann derivative. Moreover, the stress tensor obeys a nonlinear and nonsmooth dissipation law as well as stress diffusion. We prove the existence of global-in-time weak solutions satisfying an energy inequality under general Dirichlet conditions for the velocity field and Neumann conditions for the stress tensor.

研究动机与目标

• 通过非线性、非光滑的应力-应变关系，对结合粘弹性与粘塑性效应的复杂流体行为进行建模。
• 通过 Zaremba-Jaumann 导数引入应力张量的输运与扩散，以保证物理一致性。
• 在一般边界条件下，建立满足能量不等式的全局时间弱解的存在性。
• 处理在真实流体模型中出现的非光滑耗散律，扩展现有存在性理论。
• 为在真实边界条件下具有复杂、非光滑流变行为的流体提供数学框架。

提出的方法

• 将速度和应力张量作为状态变量，建立受动量平衡方程和应力输运方程控制的流体模型。
• 采用 Zaremba-Jaumann 导数描述应力张量的物质导数，确保应力演化具有客观性。
• 为应力张量引入非线性、非光滑的耗散律，以模拟超越经典牛顿流体或光滑粘塑性模型的复杂流体行为。
• 引入应力扩散项以正则化应力场，提升数学可处理性。
• 应用变分方法和弱形式化方法，在 Sobolev 类函数空间框架下推导解。
• 通过能量估计和紧致性论证，证明满足能量不等式的全局弱解的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有非光滑应力-应变关系的粘弹性流体模型建立全局时间弱解？
• RQ2 应力扩散和 Zaremba-Jaumann 导数的引入如何影响该模型的数学结构与可解性？
• RQ3 在该类流体模型中，哪些边界条件适用于能量有界的解的存在性？
• RQ4 该理论能否容纳真实世界粘塑性流体中典型的非线性和非光滑耗散律？
• RQ5 应力张量的输运与扩散在确保弱解存在性方面起什么作用？

主要发现

• 在一般 Dirichlet 和 Neumann 边界条件下，具有非光滑应力-应变关系的粘弹性流体模型存在全局时间弱解。
• 解满足能量不等式，确保了随时间推移的物理一致性和稳定性。
• 通过次微分法数学处理非光滑耗散律，允许非-Lipschitz 的应力响应。
• 应力扩散项有助于提高应力张量的正则性，并在存在性证明中支持紧致性论证。
• 使用 Zaremba-Jaumann 导数确保了应力演化的客观性，这对连续介质力学建模至关重要。
• 该分析将弱解理论扩展至具有复杂、非光滑流变行为的流体模型，填补了文献中的空白。