[论文解读] Les algebres de Hopf des arbres enracines decores

Loïc Foissy|ArXiv.org|May 25, 2001

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems被引用 8

一句话总结

本文引入了一种带装饰的有根树的非交换、非余交换的霍普夫代数，推广了早期的交换构造。它建立了非退化的霍普夫配对，提供了配对的组合解释，并证明了本原元素代数是自由生成的，从而与平面二叉树的霍普夫代数同构。该构造表明，当装饰集的基数相同时，所有有限或可数装饰集的此类霍普夫代数作为分次霍普夫代数都同构。

ABSTRACT

In \cite{Kreimer1,Connes,Broadhurst,Kreimer2}, a commutative, non cocommutative Hopf algebra H_R of (decorated) rooted trees was introduced. It is related to the Hopf algebra H_CM introduced in \cite{Moscovici}. Its dual Hopf algebra is the enveloping algebra of the Lie algebra of rooted trees L^1. In this paper, we introduce a non commutative, non cocommutative Hopf algebra H_PR of decorated planar rooted trees. We first show that H_PR is self dual. We then use this result to construct a non degenerate bilinear form (,) on H_PR, which respects the Hopf algebra structure of H_PR. Moreover, we give a combinatorial expression for the bilinear form (,). This allows us to give a direct formula for a basis of the primitive elements of H_PR. In the next sections, we show that H_PR is isomorphic to the Hopf algebra of planar binary trees introduced in \cite{Frabetti, Brouder}, and construct a subalgebra of formal non commutative diffeomorphisms. We then classify the Hopf algebra endomorphisms and coalgebra endomorphisms of H_PR. In the last sections, we give results about tensorial coalgebras and apply them to H_PR and H_R. We show how to construct the primitive elements of H_R from the primitive elements of H_PR and finally prove that L^1 is a free Lie algebra.

研究动机与目标

• 将有根树的交换霍普夫代数推广到引入装饰的非交换、非余交换设置。
• 在带装饰有根树的代数上构造一个非退化的霍普夫配对。
• 提供配对的组合解释，并推导本原元素的显式表达式。
• 证明带装饰有根树的霍普夫代数与平面二叉树霍普夫代数同构。
• 证明当且仅当装饰集具有相同基数时，所有此类霍普夫代数（针对有限或可数装饰集）作为分次霍普夫代数都同构。

提出的方法

• 引入一个新的带装饰有根树霍普夫代数 $\mathcal{H}^\mathcal{D}_{P,R}$，推广了交换情形。
• 使用分次对偶 $({\cal H}^\mathcal{D}_{P,R})^{*g}$ 在 $\mathcal{H}^\mathcal{D}_{P,R}$ 上构造一个非退化的霍普夫配对 $(\cdot,\cdot)$。
• 定义一个对森林基对偶的基 $\{e_F\}$，以简化余乘法的计算和本原元素的识别。
• 应用张量余代数的结果，证明 $\mathcal{H}^\mathcal{D}_{P,R}$ 同构于其本原元素张量代数。
• 利用霍希柴尔德上同调中的泛性质来刻画代数结构。
• 通过阿贝尔化结构和正交补论证，证明本原元素代数作为李代数是自由生成的。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将有根树的交换霍普夫代数推广到引入装饰的非交换、非余交换设置？
• RQ2 带装饰有根树代数上非退化霍普夫配对的结构是什么？如何进行组合解释？
• RQ3 能否利用树的组合结构显式描述新霍普夫代数的本原元素？
• RQ4 带装饰有根树的霍普夫代数是否与平面二叉树霍普夫代数同构？
• RQ5 在何种条件下，针对不同装饰集的两个此类霍普夫代数是同构的？

主要发现

• 霍普夫代数 $\mathcal{H}^\mathcal{D}_{P,R}$ 与平面二叉树霍普夫代数同构，这是通过本原元素张量代数与原代数之间的同构建立的。
• 分次对偶代数 $({\cal H}^\mathcal{D}_{P,R})^{*g}$ 同构于 $\mathcal{H}^\mathcal{D}_{P,R}$，从而实现了非退化的霍普夫配对。
• 本原元素代数 $\mathcal{H}^\mathcal{D}_{P,R}$ 作为李代数是自由生成的，这是通过阿贝尔化结构和正交补论证证明的。
• 表示第 $n$ 次齐次分量中配对的矩阵 $A'_n$ 是可逆的，且 $P'_n = (A'_n)^{-1}$，并计算了至第 4 次齐次分量的显式逆矩阵。
• 对于 $n=1$ 到 $n=4$，显式计算了矩阵 $A'_n$ 和 $P'_n$，展示了配对的结构，并通过逆基实现了本原元素的识别。
• 所有具有有限或可数装饰集的带装饰有根树霍普夫代数，作为分次霍普夫代数都同构，当且仅当装饰集具有相同的基数。