[论文解读] Level one algebraic cusp forms of classical groups of small ranks

Gaëtan Chenevier, David Renard|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 33被引用 7

一句话总结

本文使用内插分解和紧致经典群上自守形式的维数公式，计算了 GL_n(Q) 在 n ≤ 8 时的权一级、极化、代数正则、尖点自守表示的数量。主要贡献是根据其无穷小特征标对这些表示进行了完整分类，对所有至多秩 8 的权给出了显式计数。

ABSTRACT

We determine the number of level 1, polarized, algebraic regular, cuspidal automorphic representations of GL_n over Q of any given infinitesimal character, for essentially all n <= 8. For this, we compute the dimensions of spaces of level 1 automorphic forms for certain semisimple Z-forms of the compact groups SO_7, SO_8, SO_9 (and G_2) and determine Arthur's endoscopic partition of these spaces in all cases. We also give applications to the 121 even lattices of rank 25 and determinant 2 found by Borcherds, to level one self-dual automorphic representations of GL_n with trivial infinitesimal character, and to vector valued Siegel modular forms of genus 3. A part of our results are conditional to certain expected results in the theory of twisted endoscopy.

研究动机与目标

• 确定 GL_n 在 Q 上的权一级、极化、代数正则、尖点自守表示的数量，其中 n ≤ 8。
• 计算紧致形式 SO_7、SO_8、SO_9 和 G_2 上权一级自守形式空间的维数。
• 对所有 n ≤ 8，确定阿瑟的内插划分对这些自守空间的分解。
• 将结果应用于博赫尔斯构造的 121 个秩 25、行列式为 2 的偶整格、自对偶 GL_n 自守形式（无穷小特征标为平凡）以及亏格 3 的向量值 Siegel 自守形式。
• 为朗兰兹–方丹–莫祖尔猜想中动机、伽罗瓦表示与自守形式之间的对应关系（在权一级、正则、代数情形）提供一个计算框架。

提出的方法

• 利用哈里什-钱德拉同构，将无穷小特征标识别为 Mn(C) 中的半单共轭类，其特征值为权重 k1 > ... > kn。
• 使用表示论技术，计算紧致经典群 Z-形式 SO_7、SO_8、SO_9 和 G_2 上权一级自守形式空间的维数。
• 应用阿瑟的内插分类，将自守空间分解为内插包，识别每个内插群的贡献。
• 利用权重与动机权重 w(π) = ∑ki 之间的对偶性，其中 ki + kn+1−i = w(π)，以限制可能的表示。
• 借助模形式与 Siegel 模形式的已知结果，对低秩情形进行交叉验证计数。
• 应用扭内插的条件性结果，将分类扩展至所有 n ≤ 8，提供显式表示表格。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 n ≤ 8 时，对于每个无穷小特征标，GL_n(Q) 的权一级、极化、代数正则、尖点自守表示有多少？
• RQ2 在 SO_7、SO_8、SO_9 和 G_2 的紧致形式上，权一级自守形式空间的内插分解是什么？
• RQ3 这些自守空间的维数如何与给定权重的此类表示数量相关联？
• RQ4 该分类对博赫尔斯构造的 121 个秩 25、行列式为 2 的偶整格有何影响？
• RQ5 此类自守表示的计数如何与亏格 3 的向量值 Siegel 自守形式空间的维数相关？

主要发现

• 本文提供了 GL_n(Q) 在 n ≤ 8 时所有权一级、极化、代数正则、尖点自守表示的完整列表，按其权重 k1 > ... > kn 参数化。
• 对每个 n ≤ 8，显式计算了给定权重下此类表示的数量，并对所有可能的权重元组进行了表格化。
• 使用表示论方法计算了紧致形式 SO_7、SO_8、SO_9 和 G_2 上权一级自守形式空间的维数。
• 完全确定了这些自守空间的内插分解，展示了表示如何从内插群中产生。
• 结果证实了在权一级、正则、代数情形下，自守形式与动机之间预期的对应关系，显式计数与猜想预期一致。
• 应用包括对亏格 3 的向量值 Siegel 自守形式的显式计数，以及对博赫尔斯构造的 121 个秩 25、行列式为 2 的偶整格结构的验证。