[论文解读] Levin Steckin theorem and inequalities of the Hermite-Hadamard type

Tomasz Szostok|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2014

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 5被引用 7

一句话总结

本文通过将Levin-Stečkin定理应用于凸组合函数值与区间积分平均之间的不等式，扩展了Hermite-Hadamard型不等式的范围。利用分布函数的有界变差和交叉点分析，为所有凸函数成立的此类不等式提供了必要且充分的条件，推广了基于Ohlin引理的先前结果，并实现了对更长表达式及求积算子比较的分析。

ABSTRACT

Recently Ohlin lemma on convex stochastic ordering was used to obtain some inequalities of Hermite-Hadamard type. Continuing this idea, we use Levin-Stečkin result to determine all inequalities of the forms: $$\sum_{i=1}^3a_if(α_ix+(1-α_i)y)\leq \frac{1}{y-x}\int_{x}^yf(t),$$ $$a_1f(x)+\sum_{i=2}^3a_if(α_ix+(1-α_i)y)+a_4f(y)\geq \frac{1}{y-x}\int_{x}^yf(t)$$ and $$af(α_1x+(1-α_1)y)+(1-a)f(α_2x+(1-α_2)y)\leq b_1f(x)+b_2f(βx+(1-β)y)+b_3f(y)$$ which are satisfied by all convex functions $f:[x,y] o{\mathbb R}.$ As it is easy to see, the same methods may be applied to deal with longer expressions of the forms considered. As particular cases of our results we obtain some known inequalities.

研究动机与目标

• 将Hermite-Hadamard型不等式的研究成果扩展至Ohlin引理所限的两点或三点比较之外的范围。
• 刻画所有形如 $\sum a_i f(\alpha_i x + (1-\alpha_i)y) \leq \frac{1}{y-x}\int_x^y f(t)\,dt$ 的不等式，使其对所有凸函数 $f$ 成立。
• 将方法推广至更长的表达式，以及不涉及积分平均的两个求积算子之间的不等式比较。
• 利用Levin-Stečkin定理建立系统性框架，以确定此类不等式对所有凸函数成立的条件。

提出的方法

• 使用Levin-Stečkin定理分析有界变差的符号测度和分布函数。
• 应用由Levin-Stečkin定理导出的引理2，确定 $\int f\,dF_1 \leq \int f\,dF_2$ 对所有凸 $f$ 成立的条件，依据 $F_1$ 与 $F_2$ 之间的交叉点数量和位置。
• 定义 $A_i = \int_{x_i}^{x_{i+1}} |F_1(t) - F_2(t)|\,dt$，并推导涉及 $A_i$ 的递归不等式，以确保在交叉点数量为奇数时积分不等式成立。
• 将问题简化为检查系数 $a_i$、$\alpha_i$ 和权重 $b_j$ 的代数条件，如 $\sum a_i(1-\alpha_i) = \frac{1}{2}$ 以及 $A_i$ 项之间的不等式。
• 将逐点凸组合转化为区间 $[0,1]$ 上的分布函数 $F_1$ 和 $F_2$，从而可应用积分比较定理。
• 利用对称性和变量代换，将一般区间 $[x,y]$ 无损失地简化为 $[0,1]$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于三重凸组合 $\sum_{i=1}^3 a_i f(\alpha_i x + (1-\alpha_i)y)$，其对所有凸函数 $f$ 有上界 $\frac{1}{y-x}\int_x^y f(t)\,dt$ 的必要且充分条件是什么？
• RQ2 Levin-Stečkin定理如何用于将Ohlin引理由仅有一个交叉点的情形推广至分布函数之间存在多个交叉点的情形？
• RQ3 在何种条件下，比较两个求积算子的不等式（如 $a f(\alpha_1 x + (1-\alpha_1)y) + (1-a) f(\alpha_2 x + (1-\alpha_2)y) \leq b_1 f(x) + b_2 f(\beta x + (1-\beta)y) + b_3 f(y)$）对所有凸函数成立？
• RQ4 该方法能否推广至包含多于三个点的更长表达式？其中涉及的计算挑战是什么？
• RQ5 确保不等式 $a f(\alpha x + (1-\alpha)y) + (1-a) f(\beta x + (1-\beta)y) \leq \frac{1}{y-x}\int_x^y f(t)\,dt$ 对所有凸 $f$ 成立的精确代数条件是什么？

主要发现

• 不等式 $\sum_{i=1}^3 a_i f(\alpha_i x + (1-\alpha_i)y) \leq \frac{1}{y-x}\int_x^y f(t)\,dt$ 对所有凸函数 $f$ 成立，当且仅当 $\sum a_i(1-\alpha_i) = \frac{1}{2}$，且满足以下两个条件之一：$a_1 \leq 1-\alpha_1$ 且 $a_1 + a_2 \geq 1 - \alpha_3$，或 $a_1 \geq 1 - \alpha_1$ 且 $a_1 + a_2 \leq 1 - \alpha_3$。
• 对于不等式 $a f(\alpha_1 x + (1-\alpha_1)y) + (1-a) f(\alpha_2 x + (1-\alpha_2)y) \leq b_1 f(x) + b_2 f(\beta x + (1-\beta)y) + b_3 f(y)$，条件 $b_2(1-\beta) + b_3 = a(1-\alpha_1) + (1-a)(1-\alpha_2)$ 是必要且充分的，且满足以下四个情形之一：$a \leq b_1$，$a \geq b_1 + b_2$，$\alpha_2 \geq \beta$，或 $a \in (b_1, b_1 + b_2)$，$\alpha_2 < \beta$，且 $(1-\alpha_1)b_1 \geq (\alpha_1 - \beta)(a - b_1)$。
• 不等式 $\frac{f(x)+f(a+b-x)}{2} \leq \frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)\,dt$ 在 $x \in \left[\frac{3a+b}{4}, \frac{a+b}{2}\right]$ 时成立，可作为特例被恢复。
• 不等式 $\frac{f(a)+f(x)+f(a+b-x)+f(b)}{4} \geq \frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)\,dt$ 在 $x \in \left[a, \frac{a+b}{2}\right]$ 时成立，现可通过定理3证明，此前的已有方法无法处理此情形。
• 例3表明，$\frac{f(\alpha x + (1-\alpha)y) + f((1-\alpha)x + \alpha y)}{2} \leq \frac{f(x) + f(\frac{x+y}{2}) + f(y)}{3}$ 对所有凸 $f$ 成立，当且仅当 $\alpha \leq \frac{5}{6}$。
• 例4证实，$\frac{f(\alpha x + (1-\alpha)y) + f((1-\alpha)x + \alpha y)}{2} \leq \frac{1}{6}f(x) + \frac{2}{3}f(\frac{x+y}{2}) + \frac{1}{6}f(y)$ 成立当且仅当 $\alpha \leq \frac{2}{3}$。