[论文解读] Lewisian Fixed Points I: Two Incomparable Constructions

Tadeusz Litak, Albert Visser|arXiv (Cornell University)|May 23, 2019

Logic, programming, and type systems参考文献 38被引用 4

一句话总结

本文研究了直觉主义模态逻辑中显式不动点的两种不同构造，重点关注以刘易斯箭头为主连通词的公式。结果表明，de Jongh-Visser 与 de Jongh-Sambin 方法分别产生不可比较的模态理论 ${\mathsf{i}GL}_{\mathsf{a}}^{-}$ 与 ${\mathsf{i}A}^{-}\oplus{\mathsf{J}S}$，并证明了它们的扩展稳定性与非保守性，同时对它们的并集进行了公理化，并通过不动点原理分析了其子理论。

ABSTRACT

Our paper is the first study of what one might call "reverse mathematics of explicit fixpoints". We study two methods of constructing such fixpoints for formulas whose principal connective is the intuitionistic Lewis arrow. Our main motivation comes from metatheory of constructive arithmetic, but the systems in question allows several natural semantics. The first of these methods, inspired by de Jongh and Visser, turns out to yield a well-understood modal system. The second one by de Jongh and Sambin, seemingly simpler, leads to a modal theory that proves harder to axiomatize in an elegant way. Apart from showing that both theories are incomparable, we axiomatize their join and investigate several subtheories, whose axioms are obtained as fixpoints of simple formulas. We also show that they are extension stable, that is, their validity in the corresponding preservativity logic of a given arithmetical theory transfer to its finite extensions.

研究动机与目标

• 分析并比较直觉主义模态逻辑中构造显式不动点的两种不同方法，特别关注以刘易斯箭头为主连通词的公式。
• 在构造性算术的语境下，研究所得理论的逻辑性质，尤其是扩展稳定性和非保守性。
• 对两种不可比较理论的并集进行公理化，并研究由简单不动点原理定义的子理论。
• 阐明克里普克对应条件在不扩展 ${\mathsf{i}A}$ 的 ${\mathsf{i}A}^{-}$ 扩展中的作用。
• 探索显式不动点与直觉主义语境下贝斯可定义性性质之间的联系。

提出的方法

• 第一种构造受 de Jongh 与 Visser 启发，产生模态系统 ${\mathsf{i}GL}_{\mathsf{a}}^{-}$，该系统已被充分理解，并通过已知框架实现公理化。
• 第二种构造基于 de Jongh 与 Sambin 的思想，导出 ${\mathsf{i}A}^{-}\oplus{\mathsf{J}S}$，该系统难以实现优雅公理化，需进行更深入分析。
• 本文使用代数语义与克里普克语义分析模型结构并验证逻辑原理，包括使用 Mace4 生成反例模型。
• 引入并研究了 ${\mathsf{i}A}^{-}\oplus{\mathsf{J}S}$ 的四个显著子理论，其由 ${\mathsf{W}}^{\ast}$、${\mathsf{W}}^{\circ}$、${\mathsf{L}^{\circ}_{a}}$ 与 $4^{\circ}_{\mathsf{a}}$ 等原理定义。
• 通过合并两者的公理并证明其在逻辑封闭性与扩展稳定性下的封闭性，对两者的并集实现公理化。
• 本文采用 de Jongh-Sambin 算法作为不动点计算的基础工具，并利用其分析可定义性与唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 de Jongh-Visser 与 de Jongh-Sambin 两种不动点构造是否在逻辑上等价？抑或它们产生不可比较的理论？
• RQ2 ${\mathsf{i}A}^{-}\oplus{\mathsf{J}S}$ 理论——源自 Sambin 风格的构造——是否能获得清晰且优雅的公理化？
• RQ3 ${\mathsf{i}GL}_{\mathsf{a}}^{-}$ 与 ${\mathsf{i}A}^{-}\oplus{\mathsf{J}S}$ 的并集是否可公理化？其逻辑结构如何？
• RQ4 $44^{\circ}_{\mathsf{a}}$ 原理是否可从 ${\mathsf{i}A}^{-}\oplus 4^{\circ}_{\mathsf{a}}$ 推出？这对其在 Di 条件中的作用意味着什么？
• RQ5 ${\mathsf{i}GL}_{\mathsf{a}}^{-}$ 与 ${\mathsf{i}A}^{-}\oplus{\mathsf{J}S}$ 是否都具有扩展稳定性，即理论的保实逻辑有效性是否能传递到其所有有限扩张？

主要发现

• 两种不动点构造产生不可比较的理论：${\mathsf{i}GL}_{\mathsf{a}}^{-}$ 与 ${\mathsf{i}A}^{-}\oplus{\mathsf{J}S}$ 在逻辑上互不包含，彼此独立。
• ${\mathsf{i}A}^{-}\oplus{\mathsf{J}S}$ 理论具有扩展稳定性，即若其对某个算术理论成立，则对所有其有限扩张也成立。
• ${\mathsf{i}GL}_{\mathsf{a}}^{-}$ 与 ${\mathsf{i}A}^{-}\oplus{\mathsf{J}S}$ 的并集通过合并其公理实现公理化，且被证明是一致且定义良好的。
• $44^{\circ}_{\mathsf{a}}$ 原理不能从 ${\mathsf{i}A}^{-}\oplus 4^{\circ}_{\mathsf{a}}$ 推出，这一点通过 Mace4 找到的 6 元素海廷代数反例模型得以证实，表明 Di 条件在该类推导中至关重要。
• ${\mathsf{i}A}^{-}\oplus{\mathsf{J}S}$ 理论证明了贝斯可定义性性质，因为显式不动点蕴含可定义性，该结果可被该系统的所有扩张继承。
• 由 $4^{\circ}_{\mathsf{a}}$ 定义的子理论无法证明 $44^{\circ}_{\mathsf{a}}$，表明不动点原理之间存在严格层次，凸显了 Di 条件在克里普克语义中的关键作用。