[论文解读] Lexicographic metric spaces: basic properties and the metric dimension

Juan A. Rodríguez‐Velázquez|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2018

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文将词典度量空间引入为词典积图的推广，建立了完备性、有界性、可分性等基础性质。推导出任意词典度量空间的度量维数的精确公式，表明当基空间具有正邻近性时，其度量维数等于其分量引力度量空间的度量维数之和。

ABSTRACT

In this article, we introduce the concept of lexicographic metric space and, after discussing some basic properties of these metric spaces, such as completeness, boundedness, compactness and separability, we obtain a formula for the metric dimension of any lexicographic metric space.

研究动机与目标

• 将词典度量空间的形式化与研究作为词典积图的推广。
• 研究这些空间中的基本拓扑性质，如完备性、有界性、紧致性与可分性。
• 确定词典度量空间的度量维数，并将其与分量空间的结构联系起来。
• 引入并分析引力度量空间，作为在构造中出现的相关度量空间类。
• 为词典构造中的度量维数计算提供统一框架，适用于图与加权度量空间。

提出的方法

• 在两个度量空间 M=(X,d_X) 和 M'=(Y,d_Y) 的笛卡尔积 X×Y 上定义词典距离 ρ，其中当 x≠x' 时 ρ((x,y),(x',y')) = d_X(x,x')，当 x=x' 时为 min{2η(x), d_Y(y,y')}。
• 引入邻近性 η(x) = inf{d(x,y) : y∈X\{x}} 和 η(M) = inf{η(x) : x∈X} 的概念，以表征离散度量空间。
• 将每个 x∈X 关联的 M'_x 定义为 M' 的副本，配备缩放度量以确保有界性。
• 利用 D(M'') < η(M) 的性质，应用关键结果（推论 21），将度量维数简化为 |X|·dim(M'')。
• 在 M' 上构造有界度量 d* = η(M)·d_Y / (η(M) + d_Y)，以保持度量维数的同时确保 D(M'') < η(M)，从而可应用维数公式。
• 证明当 M 为无双射且 η(M)>0 时，M∘M' 的度量维数等于所有 x∈X 上引力度量空间 M'_x 的度量维数之和。

实验结果

研究问题

• RQ1 词典度量空间如何正式定义，其基本拓扑性质是什么？
• RQ2 在何种条件下，词典度量空间是完备的、有界的、紧致的或可分的？
• RQ3 词典度量空间的度量维数如何用其分量空间表示？
• RQ4 引力度量空间与词典度量空间有何关联，它们在计算度量维数中起什么作用？
• RQ5 在词典构造下，无界或加权度量空间的度量维数是否可保持？

主要发现

• 当且仅当 η(M) > 0 时，词典度量空间 M∘M' 是完备的，因为这能保证每个柯西序列最终为常数序列。
• 若 |X| = ∞ 或任意引力度量空间 M'_x 具有无限度量维数，则 M∘M' 的度量维数为无穷。
• 若 M 无界且 η(M) > 0，则无论 M' 如何，dim(M∘M') = ∞。
• 当 M 为无双射且 η(M) > 0 时，M∘M' 的度量维数等于所有 x∈X 上引力度量空间 M'_x 的度量维数之和。
• 若 D(M') < η(M)，则 dim(M∘M') = |X|·dim(M')，从而可使用有界近似来计算维数。
• 通过将度量 d_Y 变换为 d* = η(M)d_Y / (η(M) + d_Y)，可得到一个有界度量空间 M''，满足 dim(M'') = dim(M') 且 D(M'') < η(M)，因此 dim(M∘M'') = |X|·dim(M') = |X|·dim(M'')。