[论文解读] Li-Yau gradient bound for collapsing manifolds under integral curvature condition

Qi S. Zhang, Meng Zhu|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 5

一句话总结

本文在完整黎曼流形的测地球上，于积分曲率条件下建立了正解热方程的Li-Yau梯度估计，具体而言，当里奇曲率负部的$L^p$-范数在局部平均意义下较小时成立。通过利用Dai-Wei-Zhang的Sobolev不等式并求解权重函数$J$的边界值问题，作者推导出一个即使在流形坍塌时也成立的局部梯度估计，扩展了以往需假设非坍塌的成果。

ABSTRACT

Let $(\M^n, g_{ij})$ be a complete Riemammnian manifold. For some constants $p,\ r>0$, define $\displaystyle k(p,r)=\sup_{x\in M}r^2\left(\oint_{B(x,r)}|Ric^-|^p dV ight)^{1/p}$, where $Ric^-$ denotes the negative part of the Ricci curvature tensor. We prove that for any $p>\frac{n}{2}$, when $k(p,1)$ is small enough, certain Li-Yau type gradient bound holds for the positive solutions of the heat equation on geodesic balls $B(O,r)$ in $\M$ with $0

研究动机与目标

• 将Li-Yau梯度估计推广至可能坍塌的黎曼流形，放宽先前工作所需的非坍塌假设。
• 在里奇曲率负部在局部属于$L^p$（$p > n/2$）的条件下，建立热方程正解的局部Li-Yau型梯度估计。
• 通过使用具有积分里奇曲率界流形的Sobolev不等式，去除先前结果中对非坍塌条件的依赖。
• 证明一个在抛物缩放下保持不变的局部梯度估计，该估计蕴含局部Harnack不等式与热核的高斯下界。

提出的方法

• 定义$k(p,r) = \sup_{x \in M} r^2 \left( \oint_{B(x,r)} |Ric^{-}|^p \, dV \right)^{1/p}$，以量化里奇曲率负部的局部$L^p$-范数。
• 引入一个解非线性抛物边界值问题的权重函数$J(x,t)$，以控制量$\alpha J \frac{|\nabla u|^2}{u^2} - \frac{\partial_t u}{u}$的演化。
• 使用一个在$B(O,1)$上紧支集的截断函数$\phi$，满足$\phi = 1$在$B(O,\frac{1}{2})$，且$|\nabla \phi|^2 + |\Delta \phi| \leq C(n,p)$。
• 对量$t \phi^2 Q$应用最大值原理，其中$Q = \alpha J \frac{|\nabla u|^2}{u^2} - \frac{\partial_t u}{u}$，以导出微分不等式。
• 利用热核的高斯上界与体积加倍性质，推导出$J$的上下界，从而定义$\underline{J}(t)$。
• 选择$\delta = \frac{2(1-\alpha)^2}{n + (1-\alpha)^2}$以消除演化不等式中一个棘手项，确保二次系数的非负性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在$|Ric^{-}|$的$L^p$-可积性条件下，于可能坍塌的几何流形上建立热方程的Li-Yau梯度估计？
• RQ2 当负里奇曲率在$L^p$-平均意义下受控时，若缺乏里奇曲率下界，是否仍可获得局部梯度估计？
• RQ3 能否通过Sobolev不等式与权重函数的边界值问题，去除先前关于$L^p$-里奇曲率界结果中的非坍塌假设？
• RQ4 在抛物缩放下，所得梯度估计的最优性与尺度行为如何？
• RQ5 所导出的估计是否蕴含局部Harnack不等式与热核的高斯下界？

主要发现

• 对于任意$p > \frac{n}{2}$，若$k(p,1) \leq \kappa(n,p)$，其中$\kappa$为足够小的常数，则在$B(O,\frac{1}{2}) \times (0,\infty)$上存在Li-Yau型梯度估计。
• 该估计形式为$\alpha \underline{J} \frac{|\nabla u|^2}{u^2} - \frac{\partial_t u}{u} \leq \frac{n}{\alpha(2-\delta)\underline{J}} \frac{1}{t} + \frac{C}{\alpha(2-\delta)\underline{J}} \left[ \frac{1}{\alpha(2-\delta)\underline{J}(1-\alpha)} + 1 \right]$，其中$\underline{J}(t)$随$t$指数衰减。
• 该估计在抛物缩放下保持尺度不变，同时保持$k(p,r) \leq \kappa$的条件与估计结构。
• 该结果蕴含局部Harnack不等式与热核的高斯下界，即使在坍塌几何存在时亦成立。
• 该方法成功去除了Zhang与Zhu（2016）早期工作中对非坍塌假设的依赖，完整刻画了$p > n/2$时的$L^p$-里奇曲率界。
• 常数$\kappa$仅依赖于$n$与$p$，且由于尺度不变性，该估计在常数的最优性上是紧的。