[论文解读] Lie-algebraic classical simulations for quantum computing

Matthew L. Goh, Martín Larocca+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2023

Neural Networks and Reservoir Computing被引用 10

一句话总结

一个名为 g-sim 的框架，使用动力李代数对某些量子电路进行可扩展的经典仿真，并在 VQA 景观、初始化、线路综合和量子相位分类方面的演示。

ABSTRACT

The classical simulation of quantum dynamics plays an important role in our understanding of quantum complexity, and in the development of quantum technologies. Efficient techniques such as those based on the Gottesman-Knill theorem for Clifford circuits, tensor networks for low entanglement-generating circuits, or Wick's theorem for fermionic Gaussian states, have become central tools in quantum computing. In this work, we contribute to this body of knowledge by presenting a framework for classical simulations, dubbed "$\mathfrak{g}$-sim", which is based on the underlying Lie algebraic structure of the dynamical process. When the dimension of the algebra grows at most polynomially in the system size, there exists observables for which the simulation is efficient. Indeed, we show that $\mathfrak{g}$-sim enables new regimes for classical simulations, is able to deal with certain forms of noise in the evolution, as well as can be used to tackle several paradigmatic variational and non-variational quantum computing tasks. For the former, we perform Lie-algebraic simulations to train and optimize parametrized quantum circuits (thus effectively showing that some variational models can be dequantized), design enhanced parameter initialization strategies, solve tasks of quantum circuit synthesis, and train a quantum-phase classifier. For the latter, we report large-scale noiseless and noisy simulations on benchmark problems. By comparing the limitations of $\mathfrak{g}$-sim and certain Wick's theorem-based simulations, we find that the two methods become inefficient for different types of states or observables, hinting at the existence of distinct, non-equivalent, resources for classical simulation.

研究动机与目标

• 激励并形式化用于经典仿真量子动力学的李代数（g-sim）方法。
• 识别在动力李代数维度多项式增长的条件，以实现可扩展的仿真。
• 展示 g-sim 在变分量子计算任务中的适用性，包括电路优化、初始化、综合和 QML 分类等。

提出的方法

• 从电路生成器 {H_k} 中定义动力李代数 g，并将其维度作为关键的可扩展性度量。
• 在 g-sim 框架中通过伴随表示来表征动力学，以进化基态观测量向量。
• 使用线性演化将 e_in 演化到 e_out，时标 bar{H}_k = Φ_g^{ad}(H_k) 且公式 e_out = (∏ e^{-i θ_{lk} bar{H}_k}) e_in。
• 提供有效的时间复杂度：观测量的代数 O(L K dim(g)^2)；两个观测量的乘积为 O(L K dim(g)^3)；梯度计算的复杂度为 O(L K dim(g)^2)。
• 通过适应于 g-sim 的反向传播对混合单元通道和梯度优化进行扩展。
• 在四个任务上展示 g-sim：VQE 的过参数化、改进的电路初始化、量子电路综合，以及训练量子相位分类器。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下李代数仿真可对量子电路实现经典可扩展性？
• RQ2 如何利用 g-sim 框架提升变分量子计算中的优化、初始化、综合和 QML 任务？
• RQ3 在 g-sim 中对观测量和相关量的仿真计算复杂度是多少，与朴素状态向量方法相比如何？
• RQ4 g-sim 是否可以扩展到混合单元动力学和基于梯度的训练框架？
• RQ5 基于 g-sim 的仿真在基准测试和开发 VQAs 与 QML 模型方面能带来哪些实际收益？

主要发现

• 当 dim(g) 与系统规模按多项式增长时，g-sim 提供多项式时间的尺度性，使得对某些量子电路的经典仿真成为可能，超越朴素方法。
• 伴随表示允许高效计算在 g 支持下的观测量及梯度，且具有已证实的复杂度。
• 对于代数观测量，演化归结为实值线性代数，时间复杂度为 O(L K dim(g)^2)；对于两个代数观测量的乘积，时间复杂度为 O(L K dim(g)^3)。
• 通过 g-sim 的反向传播梯度计算在指定形式的电路中达到 O(L K dim(g)^2) 的复杂度。
• 基准测试表明 state-vector 方法呈指数增长，而 g-sim 呈现多项式增长，在测试设置中可在单个 CPU 核上实现对数百量子比特的仿真。
• 在 VQAs、电路初始化、电路综合和量子相位分类等应用中，g-sim 展现出在实际量子计算任务中的多功能性。