[论文解读] Lie algebras constructed with Lie modules and their positively and negatively graded modules

Nagatoshi Sasano|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2016

Advanced Topics in Algebra参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文通过引入标准五元组 $(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0)$，将有限维标准四元组的分次李代数构造推广至无限维情形，其中 $\mathfrak{g}$ 是带有非退化不变双线性型 $B_0$ 的李代数，$V$ 是 $\mathfrak{g}$-模，$\mathcal{V} \subset \mathrm{Hom}(V, \mathfrak{k})$ 是 $\mathfrak{g}$-子模。本文构造了一个分次李代数 $L(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0) = \bigoplus_{n \in \mathbb{Z}} V_n$，将 $\mathfrak{g}$、$V$ 和 $\mathcal{V}$ 嵌入其中，并进一步为该代数构造了正分次与负分次模。关键贡献在于：当 $B_0$ 对称且满足额外相容性条件时，建立了将此类结构嵌入更大分次李代数的链式法则。

ABSTRACT

In this paper, we shall give a way to construct a graded Lie algebra $L(\mathfrak{g},ρ,V,{\cal V},B_0)$ from a standard pentad $(\mathfrak{g},ρ,V,{\cal V},B_0)$ which consists of a Lie algebra $\mathfrak{g}$ which has a non-degenerate invariant bilinear form $B_0$ and $\mathfrak{g}$-modules $(ρ, V)$ and ${\cal V}\subset \mathrm {Hom }(V,\mathfrak{k})$ all defined over a field $\mathfrak{k}$. In general, we do not assume that these objects are finite-dimensional. We can embed the objects $\mathfrak{g},ρ,V,{\cal V}$ into $L(\mathfrak{g},ρ,V,{\cal V},B_0)$. Moreover, we construct specific positively and negatively graded modules of $L(\mathfrak{g},ρ,V,{\cal V},B_0)$. Finally, we give a chain rule on the embedding rules of standard pentads.

研究动机与目标

• 将分次李代数理论从有限维标准四元组推广至无限维标准五元组。
• 从标准五元组 $(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0)$ 构造一个分次李代数 $L(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0)$，将 $\mathfrak{g}$、$V$ 和 $\mathcal{V}$ 嵌入该代数。
• 通过从 $\mathfrak{g}$-模 $U$ 出发的归纳方法，系统构造 $L(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0)$ 的正分次与负分次模，推广已知的模构造方法。
• 在 $B_0$ 对称且满足相容性条件的前提下，建立将李代数及其分次模同时嵌入更大分次李代数的链式法则。

提出的方法

• 将标准五元组定义为域 $\mathfrak{k}$ 上的五元组 $(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0)$，其中 $\mathfrak{g}$ 是带有非退化不变双线性型 $B_0$ 的李代数，$\rho$ 是 $V$ 上的 $\mathfrak{g}$-模，$\mathcal{V}$ 是 $\mathrm{Hom}(V, \mathfrak{k})$ 的 $\mathfrak{g}$-子模。
• 通过线性映射 $\Phi_\rho: V \otimes \mathcal{V} \to \mathfrak{g}$ 引入相容性条件，满足对所有 $a \in \mathfrak{g}, v \in V, \phi \in \mathcal{V}$ 有 $B_0(a, \Phi_\rho(v \otimes \phi)) = \langle \rho(a \otimes v), \phi \rangle$，以确保五元组为标准五元组。
• 通过归纳关系构造分次李代数 $L(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0) = \bigoplus_{n \in \mathbb{Z}} V_n$，使得 $\mathfrak{g} \simeq V_0$，$V \simeq V_1$，$\mathcal{V} \simeq V_{-1}$。
• 归纳地定义正分次 $L(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0)$-模 $\tilde{U}^+ = \bigoplus_{m \geq 0} U_m^+$ 与负分次模 $\tilde{U}^- = \bigoplus_{m \leq 0} U_m^-$，使得 $U_0^+ \simeq U$ 与 $U_0^- \simeq U$ 作为 $\mathfrak{g}$-模同构。
• 证明若 $B_0$ 对称且 $(\mathfrak{g}, \pi, U, \mathcal{U}, B_0)$ 为标准五元组，则 $L(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0)$ 与 $\tilde{U}^+$ 可通过链式法则嵌入更大的分次李代数。
• 利用卡推形式与特征空间分解验证同构关系，如在例子中 $L(L(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0), \tilde{\pi}^+, \tilde{U}^+, \tilde{\mathcal{U}}^-, B_L) \simeq \mathfrak{sl}_4$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将从有限维标准四元组构造分次李代数的方法推广至无限维情形？
• RQ2 在何种条件下，由标准五元组构造的李代数 $L(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0)$ 是良好定义的，并能将原始对象正确嵌入？
• RQ3 能否从给定的 $\mathfrak{g}$-模 $U$ 系统性地构造 $L(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0)$ 的正分次与负分次模？
• RQ4 在何种条件下，可将李代数 $L(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0)$ 及其分次模 $\tilde{U}^+$ 同时嵌入更大的分次李代数？
• RQ5 对称双线性型 $B_0$ 在实现此类嵌入及保证总代数上诱导形式的非退化性方面起何作用？

主要发现

• 本文从任意标准五元组 $(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0)$ 构造了分次李代数 $L(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0) = \bigoplus_{n \in \mathbb{Z}} V_n$，并实现 $\mathfrak{g} \simeq V_0$，$V \simeq V_1$，$\mathcal{V} \simeq V_{-1}$ 的嵌入。
• 当 $B_0$ 对称时，双线性型 $B_0$ 可延拓为 $L(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0)$ 上的非退化对称不变双线性型 $B_L$，且其在 $V_0 \times V_0$ 上的限制与 $B_0$ 一致。
• 本文构造了正分次 $L(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0)$-模 $\tilde{U}^+ = \bigoplus_{m \geq 0} U_m^+$ 与负分次模 $\tilde{U}^- = \bigoplus_{m \leq 0} U_m^-$，且满足 $U_0^+ \simeq U$ 与 $U_0^- \simeq U$ 作为 $\mathfrak{g}$-模同构。
• 在 $B_0$ 对称且 $(\mathfrak{g}, \pi, U, \mathcal{U}, B_0)$ 为标准五元组的假设下，李代数 $L(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0)$ 及其模 $\tilde{U}^+$ 可通过链式法则嵌入更大的分次李代数。
• 在具体例子中，构造结果为 $L(L(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0), \tilde{\pi}^+, \tilde{U}^+, \tilde{\mathcal{U}}^-, B_L) \simeq \mathfrak{sl}_4$，表明所得代数同构于一个著名的单李代数。