[论文解读] Lie Algebroids Associated to Poisson Actions

Jiang-Hua Lu|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 1995

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用 7

一句话总结

本文为具有 Poisson 作用的 Poisson 流形 $P$ 构造了直和丛 $P \times \mathfrak{g} \oplus T^*P$ 上的李代数胚，通过相互表示将变换李代数胚和余切丛李代数胚结合在一起。关键结果表明，当作用是传递的时，余切映射的核在 $P$ 上构成一个李代数丛，推广了 Drinfeld 的构造，并使得 Poisson 齐次空间中的对称化叶与 $G$-不变 Poisson 上同调得以描述。

ABSTRACT

This work is motivated by a result of Drinfeld on Poisson homogeneous spaces. For each Poisson manifold $P$ with a Poisson action by a Poisson Lie group $G$, we describe a Lie algebroid structure on the direct sum vector bundle $P imes {\frak g} \oplus T^*P$, where ${\frak g}$ is the Lie algebra of $G$. It is built out of the transformation Lie algebroid $P imes {\frak g}$ and the cotangent bundle Lie algebroid $T^*P$ together with a pair of representations of them on each other. When the action of $G$ on $P$ is transitive, the kernel of the anchor map of this Lie algebroid gives a Lie algebra bundle over $P$, the fibers of which are given by Drinfeld. As applications, we describe the symplectic leaves and the $G$-invariant Poisson cohomology of Poisson homogeneous $G$-spaces.

研究动机与目标

• 通过为 Poisson 流形 $P$ 上 Poisson 李群 $G$ 的 Poisson 作用构造 $P \times \mathfrak{g} \oplus T^*P$ 上的典范李代数胚结构，推广 Drinfeld 关于 Poisson 齐次空间的结果。
• 通过兼容表示统一变换李代数胚 $P \times \mathfrak{g}$ 与余切丛李代数胚 $T^*P$，形成一个新的李代数胚。
• 利用所构造的李代数胚刻画 Poisson 齐次 $G$-空间的对称化叶与 $G$-不变 Poisson 上同调。
• 提供一个几何框架，将 Drinfeld 的李代数丛构造扩展至传递 Poisson 作用的情形。

提出的方法

• 利用 Poisson 李群 $G$ 的李代数 $\mathfrak{g}$，在直和丛 $P \times \mathfrak{g} \oplus T^*P$ 上构造李代数胚结构。
• 通过结合 $P \times \mathfrak{g}$ 与 $T^*P$ 的李代数胚括号，并引入相互表示，定义 $P \times \mathfrak{g} \oplus T^*P$ 截面上的括号。
• 利用 $G$ 在 $P$ 上的作用，定义 $P \times \mathfrak{g}$ 对 $T^*P$ 的表示以及 $T^*P$ 对 $P \times \mathfrak{g}$ 的对偶表示，确保与李代数胚公理相容。
• 通过表示相容性条件验证所得括号满足雅可比恒等式与莱布尼茨法则。
• 从 $P \times \mathfrak{g} \oplus T^*P$ 到切丛 $TP$ 定义余切映射，结合 $G$-作用的基向量场与 $P$ 上 Poisson 二阶张量场的微分。
• 在传递作用情形分析余切映射的核，证明其在 $P$ 上构成一个李代数丛，其纤维同构于稳定子子群的李代数，从而恢复 Drinfeld 的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在 $P \times \mathfrak{g} \oplus T^*P$ 上构造一个李代数胚结构，以编码 Poisson 李群 $G$ 对 Poisson 流形 $P$ 的 Poisson 作用？
• RQ2 在定义李代数胚括号时，$P \times \mathfrak{g}$ 与 $T^*P$ 之间的相互表示起什么作用？
• RQ3 所构造李代数胚的余切映射核在传递情形下如何与 Drinfeld 的李代数丛相关联？
• RQ4 能否利用该李代数胚的几何性质描述 Poisson 齐次 $G$-空间的对称化叶？
• RQ5 Poisson 齐次 $G$-空间的 $G$-不变 Poisson 上同调如何从李代数胚的结构中导出？

主要发现

• 当 $G$ 通过 Poisson 作用作用于 $P$ 时，直和丛 $P \times \mathfrak{g} \oplus T^*P$ 拥有典范的李代数胚结构。
• 所构造李代数胚的余切映射结合了 $G$-作用的基向量场与 $P$ 上 Poisson 二阶张量场的微分。
• 在传递情形下，余切映射的核是 $P$ 上的一个李代数丛，其纤维同构于稳定子子群的李代数，从而恢复了 Drinfeld 的结果。
• Poisson 齐次 $G$-空间的对称化叶被识别为余切映射核所定义的驻留分布的叶。
• Poisson 齐次 $G$-空间的 $G$-不变 Poisson 上同调同构于该李代数胚在 $G$-轨道上的限制上同调。
• 在定义李代数胚括号并确保与 Poisson 结构相容方面，$P \times \mathfrak{g}$ 与 $T^*P$ 之间的相互表示至关重要。