[论文解读] Lie contact structures and chains

Vojtěch Žádník|ArXiv.org|Jan 28, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 3被引用 4

一句话总结

该论文证明了Lie接触结构——经典Lie球面几何的推广——可等价地通过接触分布上与Levi括号相容的分裂四元数结构来描述。关键结果表明，此类结构中的链永远不会是任何仿射联络的测地线，且保持链的变换必须保持底层的Lie接触结构，从而可完全从链的路径几何重建该几何结构。

ABSTRACT

Lie contact structures generalize the classical Lie sphere geometry of oriented hyperspheres in the standard sphere. They can be equivalently described as parabolic geometries corresponding to the contact grading of orthogonal real Lie algebra. It follows the underlying geometric structure can be interpreted in several equivalent ways. In particular, we show this is given by a split-quaternionic structure on the contact distribution, which is compatible with the Levi bracket. In this vein, we study the geometry of chains, a distinguished family of curves appearing in any parabolic contact geometry. Also to the system of chains there is associated a canonical parabolic geometry of specific type. Up to some exceptions in low dimensions, it turns out this can be obtained by an extension of the parabolic geometry associated to the Lie contact structure if and only if the latter is locally flat. In that case we can show that chains are never geodesics of an affine connection, hence, in particular, the path geometry of chains is always non-trivial. Using appropriately this fact, we conclude that the path geometry of chains allows to recover the Lie contact structure, hence, in particular, transformations preserving chains must preserve the Lie contact structure.

研究动机与目标

• 通过接触分布上与Levi括号相容的分裂四元数结构来刻画Lie接触结构。
• 研究抛物接触几何中链的几何性质，特别是其在Lie接触流形中作为特殊曲线的作用。
• 确定链的路径几何在何种条件下可确定底层的Lie接触结构，尤其是与局部平坦性相关的情形。
• 证明保持链的接触微分同胚必为Lie接触结构的自同构。
• 建立链永远不是任何仿射联络的测地线，意味着链的路径几何始终是非平凡的。

提出的方法

• 本文使用抛物几何与Cartan的等价方法，将Lie接触结构描述为类型(G,P)的正规Cartan几何，其中G = PO(p+2,q+2)，P为抛物子群。
• 将接触分布H重新解释为L*⊗R，其自然诱导H上与Levi括号相容的分裂四元数结构。
• 链被定义为通过某点处横截切方向唯一确定的无参数化曲线，在去掉接触分布的射影化切丛P(TM)上形成路径几何。
• 利用链的路径几何的调和曲率来重构原始的Lie接触结构，特别是在局部平坦的情形下。
• 证明的关键在于表明，由调和曲率导出的张量S可检测H中的秩一元素，这些元素对应于零元素的Segre锥。
• 一个关键技术工具是通过复结构I, J, K在接触分布上的作用，将Levi括号识别为实值双线性型。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从链的路径几何完全重构Lie接触结构？
• RQ2 链的抛物几何在何种条件下是原始Lie接触几何的推广？
• RQ3 在Lie接触流形中，链是否可能是某仿射联络的测地线？
• RQ4 分裂四元数结构在刻画接触分布及其与Levi括号的相容性方面起什么作用？
• RQ5 链的路径几何的调和曲率与底层Lie接触结构有何关系？

主要发现

• Lie接触结构完全由与Levi括号相容的接触分布上的分裂四元数结构刻画。
• Lie接触流形中的链永远不是任何仿射联络的测地线，意味着链的路径几何始终是非平凡的。
• 保持链的接触微分同胚必须保持底层的Lie接触结构，因此是该几何的自同构。
• 当且仅当结构局部平坦时，Lie接触结构可从链的路径几何的调和曲率重构。
• H中秩一元素的Segre锥由张量S检测：对任意秩一ξ，有S(ξ,ξ,ξ)恒为零；且S(ξ,ξ,η)是ξ的倍数当且仅当ξ为秩一元素。