[论文解读] Lie group computation of finite difference schemes

Emma Hoarau, Claire David|ArXiv.org|Nov 29, 2006

Numerical methods for differential equations参考文献 8被引用 4

一句话总结

本论文提出一个基于 Mathematica 的符号计算软件包，通过其微分近似方法确定有限差分格式的李群对称性。通过对格式的微分表示应用李群分析，该方法识别出被保留和丢失的对称性——表明 FTCS 格式保持时间与空间平移对称性以及一个修正的伸缩群对称性，但失去了伽利略对称性和射影不变性。

ABSTRACT

A Mathematica based program has been elaborated in order to determine the symmetry group of a finite difference equation, by means of its differential representation. The package provides functions which enable us to solve the determining equations of the related Lie group

研究动机与目标

• 开发一种符号计算工具，以自动化有限差分格式的李群分析。
• 确定原始 PDE 的连续对称性中，哪些在数值离散化过程中被保留或破坏。
• 通过群论方法实现对称性保持的有限差分格式的系统性构造。
• 评估对称性确定的计算成本随微分近似阶数的变化情况。

提出的方法

• 该方法将李群理论应用于有限差分格式的微分近似，将其视为一个 PDE 系统。
• 通过将向量场提升到喷射空间并求解其延拓得到的确定方程，计算无穷小生成元。
• 使用自变量、因变量及步长变量（x, t, u, h, τ, ν）的多项式展开来参数化无穷小量。
• 该软件包利用 Mathematica 的符号运算能力，自动化求解代数确定方程。
• 从确定系统解重构对称群，并在标准格式上验证结果。
• 通过不同微分近似阶数的格式的执行时间，测量计算性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 给定的有限差分格式保留了原始 PDE 的哪些连续对称性？
• RQ2 微分近似的阶数如何影响对称性确定的计算复杂度？
• RQ3 是否可以使用系统化的符号软件包自动化计算有限差分格式的李对称性？
• RQ4 在离散化过程中丢失了哪些对称性，特别是对于 FTCS 和 Lax-Wendroff 等标准格式？
• RQ5 步长变量（h, τ, ν）在对称群作用下如何变换，这对格式不变性有何含义？

主要发现

• FTCS 格式保持由时间与空间平移以及涉及 x, t, u, h, τ 的两个伸缩对称性生成的 4 维李群。
• FTCS 格式的对称代数同构于 A_d ⊕ A_{h,τ}，其中 A_d 是 Burgers 方程的伸缩代数，A_{h,τ} 作用于步长。
• 由于离散化，FTCS 格式失去了伽利略对称性和射影不变性，表明存在对称性破缺。
• Lax-Wendroff 和 Crank-Nicolson 格式也具有相同的 4 参数对称群，表明具有相似的对称结构。
• 执行时间随微分近似阶数显著增加：FTCS（阶数 4）为 395.2 秒，Lax-Wendroff（阶数 6）为 972.2 秒，Crank-Nicolson 为 906.6 秒。
• 该符号软件包成功在标准 PC 上使用 Mathematica 5.2 计算了所有测试格式的对称性，证明了其可行性与可扩展性。