[论文解读] Lie group variational integrators for rigid body problems using quaternions

Xuefeng Shen, Melvin Leok|arXiv (Cornell University)|May 11, 2017

Numerical methods for differential equations参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文提出一种基于单位四元数的李群变分积分器，用于刚体动力学，通过利用S³的内在李群结构避免约束。该方法在长时间模拟中保持辛性、能量、单位四元数范数及角动量不变，具有计算效率高和几何保真度强的特点，适用于航空航天、机器人学和计算机图形学等领域。

ABSTRACT

Rigid body dynamics on the rotation group have typically been represented in terms of rotation matrices, unit quaternions, or local coordinates, such as Euler angles. Due to the coordinate singularities associated with local coordinate charts, it is common in engineering applications to adopt the unit quaternion representation, and the numerical simulations typically impose the unit length condition using constraints or by normalization at each step. From the perspective of geometric structure-preserving, such approaches are undesirable as they are either computationally less efficient, or interfere with the preservation of other geometric properties of the dynamics. In this paper, we adopt the approach used in constructing Lie group variational integrators for rigid body dynamics on the rotation group to the representation in terms of unit quaternions. In particular, the rigid body dynamics is lifted to unit quaternions, and the Lie group structure of unit quaternions is used to represent tangent vector intrinsically, thereby avoiding the use of a Lagrange multiplier. A Lie group variational integrator in the unit quaternion representation is derived, and numerical results are presented.

研究动机与目标

• 解决传统单位四元数方法依赖约束或归一化所带来的几何结构保真性受损问题。
• 为基于单位四元数表示的刚体动力学开发一种全局有效、结构保持的数值积分器。
• 在不使用局部坐标或拉格朗日乘子的情况下，保持关键几何不变量——辛性、能量、单位范数及角动量。
• 在航空航天和计算机图形学等四元数被广泛使用的应用中，实现高效且稳定的长期刚体运动模拟。
• 通过将李群变分积分器适配至广泛使用的单位四元数形式，弥合几何积分理论与工程实践之间的差距。

提出的方法

• 将刚体动力学从SO(3)提升至单位四元数群S³，该群在四元数乘法下构成李群。
• 通过S³的李代数（与R³同构）内在表示切向量，避免显式约束或归一化操作。
• 基于指数映射和群结构，在Q × Q上构造离散拉格朗日量，确保离散方程继承连续系统的几何性质。
• 通过离散勒让德变换推导离散欧拉-拉格朗日方程及相应的辛映射，保持动量与辛结构。
• 在每个时间步使用Broyden型方法求解非线性系统，避免精确计算雅可比矩阵。
• 通过群结构内在保持单位四元数条件，而非通过投影或约束手段。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖约束或归一化的情况下，基于单位四元数构造刚体动力学的李群变分积分器？
• RQ2 该方法在长时间积分中是否能保持辛性、能量及四元数的单位范数？
• RQ3 与标准四元数方法相比，该方法在能量和范数保持方面的性能如何？
• RQ4 由于群作用下的不变性，该方法是否能保持角动量及其他守恒量？
• RQ5 该方法的计算成本是否低于基于矩阵的李群积分器，同时保持几何精度？

主要发现

• 所提积分器在1000个时间单位内保持单位四元数范数的误差在10⁻¹⁴量级，证明了其内在约束满足特性。
• 能量误差在1000个时间单位内保持有界且稳定，处于10⁻⁷量级，证实了由辛性带来的长期能量稳定性。
• 总角动量误差有界，约为10⁻¹¹，证实了由群不变性通过离散诺特定理实现的角动量保持。
• 该方法具有计算效率：四元数仅需4个标量（对比旋转矩阵的9个），且四元数乘法仅需16次乘法（对比矩阵乘法的27次）。
• 积分器避免使用拉格朗日乘子，且无需归一化步骤，降低了计算开销并保持了几何结构。
• 数值结果表明，在中心引力场作用下的刚体模拟中，该方法表现出极佳的长期稳定性和精度，能量与范数均无漂移。