[论文解读] Lie groupoids and algebroids applied to the study of uniformity and homogeneity of material bodies

Víctor Manuel Jiménez, Manuel de León+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2016

Elasticity and Material Modeling参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文引入一个李群胚及其关联的李代数胚——物质群胚与物质代数胚，以表征弹性物质体中的均匀性与齐次性。通过将物质代数胚中编码的无穷小对称性与局部及全局齐次性相联系，该框架推广了经典的G-结构方法，从而能够分析非均匀材料（如功能梯度材料）。

ABSTRACT

A Lie groupoid, called extit{material Lie groupoid}, is associated in a natural way to any elastic material. The corresponding Lie algebroid, called extit{material algebroid}, is used to characterize the uniformity and the homogeneity properties of the material. The relation to previous results in terms of $G-$structures is discussed in detail. An illustrative example is presented as an application of the theory.

研究动机与目标

• 开发基于李群胚与代数胚的几何框架，用于分析连续介质力学中的物质对称性。
• 通过群胚理论克服G-结构理论仅适用于均匀体的局限，从而纳入非均匀材料。
• 通过物质代数胚的性质表征局部与全局齐次性，特别是通过向量场的常数性。
• 展示如何直接从简单材料（如A型层列相液晶）的本构方程构造物质代数胚。
• 统一并推广先前关于物质对称性的结果，包括Noll的均匀性理论与局部齐次性的概念。

提出的方法

• 将物质李群胚定义为物质体上不同点的切空间之间保持力学响应不变的所有物质同构的集合。
• 将关联的物质李代数胚构造为物质群胚的无穷小版本，编码局部对称性。
• 利用1-喷层群胚Π¹(B,B)中李子群胚的可积性，将全局对称性与物质代数胚的结构相联系。
• 将该理论应用于作为Cosserat介质建模的一类简单液晶，利用其本构方程直接推导物质代数胚。
• 通过分析度量与向量场e的偏导数为零，表征齐次性，从而导出坐标不变性的条件。
• 证明当标准坐标为齐次时，局部齐次性蕴含全局齐次性，且这等价于在这些坐标下向量场e为常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用李群胚与李代数胚将物质均匀性的表征推广至G-结构理论的适用范围之外？
• RQ2 物质代数胚的何种条件可确保物质体的局部与全局齐次性？
• RQ3 如何直接从简单材料（如A型层列相液晶）的本构方程构造物质代数胚？
• RQ4 在坐标系中向量场e的常数性与物质体齐次性之间存在何种关系？
• RQ5 1-喷层群胚中李子群胚的可积性与均匀性及齐次性的物理性质之间存在何种关系？

主要发现

• 物质代数胚提供了对均匀性与齐次性的完整无穷小表征，推广了先前基于G-结构的方法。
• 当且仅当在标准坐标系中向量场e为常数，即e = λⁱ∂/∂xⁱ且λⁱ为常数时，物质体为局部齐次。
• 当标准坐标为齐次时，局部齐次性蕴含全局齐次性，即在这些坐标下度量分量为常数。
• 齐次性的条件简化为∂eⁱ/∂xᵏ = 0与∂Fˡᵐ/∂xᵏ = 0，这意味着物质空间与环境空间之间的坐标变换为仿射变换。
• 对于简单材料（包括A型层列相液晶），从本构方程直接构造物质代数胚是可行的，从而实现直接的几何分析。
• 该框架成功扩展至非均匀材料（如功能梯度介质），在这些材料中G-结构方法因缺乏传递对称性而失效。