[论文解读] Lie groups over non-discrete topological fields

Helge Glöckner|ArXiv.org|Aug 1, 2004

advanced mathematical theories参考文献 31被引用 46

一句话总结

本文将无限维李群理论推广至非离散拓扑域，通过连续逆代数、映射群、测试函数群和微分同胚群，建立了一个在任意此类域上构造李群的框架。关键贡献是一条光滑性定理，证明了在紧支集上的 $ C^k $-映射（取值于紧支集光滑截面空间）几乎局部且紧支集时为 $ C^k $-光滑，从而将经典李群构造方法从实数与复数情形推广至更一般情形。

ABSTRACT

We generalize the classical construction principles of infinite-dimensional real (and complex) Lie groups to the case of Lie groups over non-discrete topological fields. In particular, we discuss linear Lie groups, mapping groups, test function groups, diffeomorphism groups, and weak direct products of Lie groups. The specific tools of differential calculus required for the Lie group constructions are developed. Notably, we establish differentiability properties of composition and evaluation, as well as exponential laws for function spaces. We also present techniques to deal with the subtle differentiability and continuity properties of non-linear mappings between spaces of test functions. Most of the results are independent of any specific properties of the topological vector spaces involved; in particular, we can deal with real and complex Lie groups modeled on non-locally convex spaces.

研究动机与目标

• 将经典无限维李群理论——此前仅限于实数与复数李群——推广至任意非离散拓扑域，超越实数与复数的限制。
• 在非离散拓扑域上发展微分学框架，支持在非局部凸拓扑向量空间上构造李群。
• 确立非线性映射在测试函数空间与光滑截面空间之间可微的条件，尤其关注几乎局部与拼接结构。
• 将关键李群构造——线性群、映射群、微分同胚群与弱直积——推广至任意非离散拓扑域，超越实数与复数情形。
• 通过一致的 $ C^k $-微分学，为局部域（包括 $ p $-进域与非阿基米德情形）上的李理论提供基础。

提出的方法

• 采用公理化方法，在非离散拓扑域上发展 $ C^k $-微分学，推广了Michal-Bastiani与Keller的框架。
• 引入‘拼接’拓扑向量空间与‘拼接族’限制映射的概念，以处理从局部到整体的可微性。
• 应用‘几乎局部’映射的概念——即某点的取值仅依赖于输入在该点的芽——以控制函数空间中非线性行为。
• 利用指数律与复合映射技术，分析拓扑域上映射空间中求值与复合的光滑性。
• 建立光滑性定理（定理 F.30），证明若一个映射在紧支集截面空间上为 $ C^k $ 且局部几乎局部，则其整体为 $ C^k $。
• 通过带盒拓扑的直和构造实现拓扑嵌入，将整体可微性归约为局部分片可微性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非局部凸空间上，一个非线性映射在取值于拓扑域上紧支集光滑截面空间时，其 $ C^k $-光滑性的条件是什么？
• RQ2 经典指数律与复合映射定理如何推广至非阿基米德与非局部凸拓扑域上的函数空间？
• RQ3 连续逆代数理论能否推广至非离散拓扑域，以在非局部凸空间上构造李群？
• RQ4 函数空间之间几乎局部映射在多大程度上能继承其局部限制的可微性？
• RQ5 在映射到测试函数空间的映射中，若其在紧支集子空间上的限制为光滑，需满足何种条件才能保证整体光滑？

主要发现

• 光滑性定理（定理 F.30）表明，若映射 $ f: P \to C^s_c(N, E_2) $ 局部几乎局部，且其在每个紧支集子空间上的限制为 $ C^k $，则其整体为 $ C^k $-光滑，从而实现从局部数据推导整体可微性。
• 在适当的拓扑条件下，非离散拓扑域上 $ C^r $-映射空间之间的复合映射与求值映射均为 $ C^k $-光滑。
• 该理论允许在任意非离散拓扑域（包括 $ p $-进域与局部域）上构造李群，即使底层拓扑向量空间非局部凸亦可。
• 通过使用拼接族限制映射，可将整体可微性归约为相对紧致开集上的局部可微性，从而促进对非线性映射的分析。
• 带盒拓扑的直和构造使函数空间可嵌入至一个乘积空间，在其中可分片测试可微性。
• 该框架支持在局部域上的有限维仿紧流形上构造微分同胚群 $ \mathrm{Diff}^r(M) $ 与 $ \mathrm{Diff}^\infty(M) $，推广了实数情形。