[论文解读] LIE-HOPF ALGEBRAS AND LOOP HOMOLOGY OF SUSPENSION SPACES

Victor Matveevich Buchstaber|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用 1

一句话总结

本文引入了一种新的同伦不变量，定义为拓扑空间 X 的环路空间上同调 H∗(ΩΣX; ℤ) 在 ℤ 上的同构类，该同调结构构成一个霍普夫代数。当且仅当该霍普夫代数同构于一个李-霍普夫代数（即由基本元素生成）时，该不变量为平凡，且该不变量可作为阻碍，阻止存在某个空间 Y 使得 ΣX ≃ Σ²Y 成立。

ABSTRACT

ABSTRACT. For an arbitrary topological space X, the loop space homology H∗(ΩΣX; Z) is a Hopf algebra. We introduce a new homotopy invariant of a topological space X taking for its value the isomorphism class (over the integers) of the Hopf algebra H∗(ΩΣX; Z). This invariant is trivial if and only if the Hopf algebra H∗(ΩΣX; Z) is isomorphic to a Lie-Hopf algebra, that is, to a primitively generated Hopf algebra. We show that for a given X these invariants are obstructions to the existence of a homotopy equivalence ΣX ≃ Σ 2 Y for some space Y. We further investigate relations between this new invariant and well known classical invariants and constructions in homotopy theory. 1.

研究动机与目标

• 通过 ℤ 上的环路空间上同调 H∗(ΩΣX; ℤ) 的同构类，为拓扑空间定义一种新的同伦不变量。
• 刻画该不变量为平凡的条件，即当霍普夫代数 H∗(ΩΣX; ℤ) 同构于一个李-霍普夫代数时。
• 建立该不变量阻碍存在某个空间 Y 使得 ΣX ≃ Σ²Y 成立的同伦等价关系。
• 将该新不变量与同伦理论中的经典不变量和构造联系起来。

提出的方法

• 本文研究任意拓扑空间 X 的 H∗(ΩΣX; ℤ) 的霍普夫代数结构。
• 将该不变量定义为该霍普夫代数在 ℤ 上的同构类。
• 通过基本元素生成的性质刻画该不变量的平凡性，即同构于李-霍普夫代数。
• 运用代数与同伦论技术，将该不变量与悬垂空间分解的存在性联系起来。
• 研究该不变量与同伦理论中已知不变量（如谱序列或上同调运算所导出的不变量）之间的联系。
• 应用已知的霍普夫代数与环路空间结果，推导出 ΣX 的结构约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 霍普夫代数 H∗(ΩΣX; ℤ) 何时同构于 ℤ 上的李-霍普夫代数，这对空间 X 暗示了什么？
• RQ2 H∗(ΩΣX; ℤ) 的同构类如何作为阻碍，阻止 ΣX 与某个空间 Y 的 Σ²Y 同伦等价？
• RQ3 该新不变量与同伦理论中的经典不变量（如由上同调或同伦群导出的不变量）之间存在何种关系？
• RQ4 在何种情况下，霍普夫代数 H∗(ΩΣX; ℤ) 不是基本元素生成的，这又对 X 的同伦类型意味着什么？
• RQ5 该不变量如何用于区分不同悬垂空间的同伦类型？

主要发现

• 该不变量为平凡，当且仅当霍普夫代数 H∗(ΩΣX; ℤ) 同构于一个李-霍普夫代数，即基本元素生成。
• 该不变量阻碍了对任意空间 Y 存在 ΣX ≃ Σ²Y 的同伦等价关系。
• 对任意拓扑空间 X，霍普夫代数 H∗(ΩΣX; ℤ) 均为霍普夫代数。
• 该不变量为研究悬垂空间的同伦类型提供了一种新的代数工具。
• 该构造揭示了环路空间上同调的结构约束，这些约束通过经典不变量本身无法察觉。
• 本文建立了霍普夫代数的代数性质与悬垂分解几何实现性之间的联系。