[论文解读] Lie-Hopf algebras and their Hopf cyclic cohomology

Bahram Rangipour, Serkan Sütlü|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 24被引用 7

一句话总结

本文引入李-霍普夫代数作为框架，用于从李代数、李群及仿射代数群的匹配对构造非交换、非余交换霍普夫代数。通过证明在不变性与导子作用条件下，该构造所得双交叉积霍普夫代数在特定SAYD模上的上同调同构于匹配李代数相对于其勒维子代数的相对李代数上同调，建立了这些结构与霍普夫上同调上同调之间的规范联系。

ABSTRACT

The correspondence between Lie algebras, Lie groups, and algebraic groups, on one side and commutative Hopf algebras on the other side are known for a long time by works of Hochschild-Mostow and others. We extend this correspondence by associating a noncommutative noncocommutative Hopf algebra to any matched pair of Lie algebras, Lie groups, and affine algebraic groups. We canonically associate a modular pair in involution to any of these Hopf algebras. More precisely, to any locally finite representation of a matched pair object as above we associate a SAYD module to the corresponding Hopf algebra. At the end, we compute the Hopf cyclic cohomology of the associated Hopf algebra with coefficients in the aforementioned SAYD module in terms of Lie algebra cohomology of the Lie algebra associated to the matched pair object relative to an appropriate Levi subalgebra with coefficients induced by the original representation.

研究动机与目标

• 通过匹配对将经典群、李代数与交换霍普夫代数之间的对应关系推广至非交换、非余交换霍普夫代数。
• 将李-霍普夫代数定义为一种概念性工具，用于在不预先假设整体代数的情况下构造双交叉积霍普夫代数。
• 为这些霍普夫代数规范地关联一个模对与一类SAYD模。
• 以相对李代数上同调的形式计算所得霍普夫代数的霍普夫上同调上同调。

提出的方法

• 将李-霍普夫代数定义为编码李代数、李群及仿射代数群匹配对的代数结构。
• 通过对偶性与共作用相容性，利用这些匹配对构造双交叉积霍普夫代数。
• 建立群的函数代数与其实李代数的泛包络代数之间的霍普夫对偶性。
• 引入$(\mathfrak{g}_1, \mathfrak{g}_2)$-相关霍普夫代数的概念，以确保作用与共作用之间的相容性。
• 为霍普夫代数定义$\mathcal{F}$-勒维分解，以将经典勒维分解推广至非交换情形。
• 使用双复形构造计算霍普夫上同调，并通过双复形之间的映射证明主要同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地从李代数或李群的匹配对构造一个非交换、非余交换霍普夫代数？
• RQ2 何种条件可确保由匹配对生成的霍普夫代数具有与共作用结构相容的勒维分解？
• RQ3 此类霍普夫代数的霍普夫上同调与底层匹配李代数的相对李代数上同调之间有何关系？
• RQ4 双交叉积霍普夫代数的上同调能否通过结合李代数上同调与霍普夫上同调结构的双复形来计算？
• RQ5 所诱导的SAYD模与对合模对在这一上同调对应关系中起何精确作用？

主要发现

• 双交叉积霍普夫代数$\mathcal{F} \blacktriangleright\vartriangleleft U(\mathfrak{g}_1)$在诱导SAYD模$^\sigma M_\delta$上的霍普夫上同调同构于相对李代数上同调群的直和$\bigoplus_{i=\bullet \text{ mod } 2} H^i(\mathfrak{a}, \mathfrak{h}, M)$，其中$\mathfrak{a} = \mathfrak{g}_1 \bowtie \mathfrak{g}_2$，$\mathfrak{h}$为$\mathcal{F}$-勒维子代数。
• 对于匹配李群对$(G_1, G_2)$，$R(G_2) \blacktriangleright\vartriangleleft U(\mathfrak{g}_1)$的霍普夫上同调在模$M$上的上同调同构于$\bigoplus_{i=\bullet \text{ mod } 2} H^i(\mathfrak{g}_1 \bowtie \mathfrak{g}_2, \mathfrak{h}, M)$，前提是$\mathfrak{h}$关于$\mathfrak{g}_1$不变且在$\mathfrak{g}_1$上作用为导子。
• 对于具有勒维分解$G_2 = G_2^{\text{red}} \rtimes G_2^{\text{u}}$的仿射代数群匹配对$(G_1, G_2)$，$\mathcal{P}(G_2) \blacktriangleright\vartriangleleft U(\mathfrak{g}_1)$在多项式$G_1 \bowtie G_2$-模$M$上的霍普夫上同调同构于$\bigoplus_{i=\bullet \text{ mod } 2} H^i(\mathfrak{g}_1 \bowtie \mathfrak{g}_2, \mathfrak{g}_2^{\text{red}}, M)$。
• 通过李-霍普夫代数构造霍普夫代数提供了一种简洁、概念性的方法，无需预先给定整体代数即可证明某霍普夫代数为双交叉积。
• $R(G_2)$与$U(\mathfrak{g}_2)$之间的配对是$U(\mathfrak{g}_1)$-平衡的，确保与共作用相容，并促成上同调同构。
• $\mathfrak{g}_2$的$\mathcal{F}$-勒维分解在函数代数$\mathcal{F}$中诱导出相应的分解，将经典概念推广至非交换情形。