[论文解读] Lie local subgroupoids and their monodromy

Ronald Brown, İlhan Içen|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 1998

Advanced Topics in Algebra被引用 2

一句话总结

本文引入了李局部子群胚作为局部等价关系的推广，将层论与拓扑斯理论的概念扩展至微分几何领域。它为某些李局部子群胚建立了单值群胚与多值群胚，为研究光滑流形中局部对称性及其全局不变量提供了几何框架。

ABSTRACT

The notion of local equivalence relation on a topological space is generalised to that of local subgroupoid. Properties of coherence are considered. The main result is notions of holonomy and monodromy groupoid for certain Lie local subgroupoids. Introduction The notion of local equivalence relation was introduced by Grothendieck and Verdier [9] in a series of exercises presented as open problems concerning the construction of a certain kind of topos. It was investigated further by Rosenthal [15, 16] and more recently by Kock and Moerdijk [11, 12]. A local equivalence relation is a global section of the sheaf E defined by the presheaf E where E(U) is the set of all equivalence relations on the open subsets U of X , and EUV is the restriction map from E(U) to E(V ) for V ` U . The main aims of the papers [9, 11, 12, 15, 16] are towards the connections with sheaf theory and topos theory. An equivalence relation on a set U is just a wide subgroupoid of the indiscrete groupoid U \\Theta U...

研究动机与目标

• 将局部等价关系的概念推广至李局部子群胚，将其在层与拓扑斯理论中的作用延伸至光滑几何设定中。
• 在局部子群胚的语境下研究一致性条件，确保在重叠区域之间保持结构一致性。
• 为特定类别的李局部子群胚定义并分析单值群胚与多值群胚，以捕捉从局部到全局的对称性行为。
• 利用群胚理论工具，建立一个几何框架，以理解光滑流形中局部对称性的全局不变量。

提出的方法

• 通过考虑拓扑空间开子集 U 上对偶群胚 U × U 的宽子群胚，将局部等价关系推广为局部子群胚。
• 为局部子群胚定义一致性条件，以确保在重叠开集之间具有兼容性，类似于层公理。
• 将单值群胚构造为底层空间基本群胚的商，限制于局部对称性数据。
• 将多值群胚定义为局部对称性芽的群胚，以捕捉路径依赖的变换。
• 利用李群胚结构确保光滑性，并与微分几何保持一致，特别是在流形的语境下。
• 将原本为局部等价关系发展出的层理论与拓扑斯理论技术，应用于李局部子群胚的新设定中。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过子群胚将局部等价关系的概念推广至李理论设定？
• RQ2 局部子群胚必须满足何种一致性条件，以确保在重叠区域之间具有全局一致的行为？
• RQ3 如何为李局部子群胚定义单值群胚与多值群胚，它们又编码了何种几何信息？
• RQ4 多值群胚与光滑流形中局部对称性全局结构之间存在何种关系？
• RQ5 这些构造在何种意义上将经典层理论与拓扑斯理论结果推广至微分几何？

主要发现

• 本文成功地将局部等价关系推广为李局部子群胚，为早期拓扑斯理论构造提供了光滑且具有几何意义的扩展。
• 提出了局部子群胚的一致性条件，确保了在重叠开集之间局部对称性的一致兼容性。
• 单值群胚被构造为基本群胚的商，编码了局部子群胚结构中路径依赖的对称变换。
• 多值群胚被定义为局部对称性芽的群胚，捕捉了局部变换的全局行为。
• 证明了这些构造与李群胚结构相容，从而使其在微分几何与流形上的几何结构中具有应用潜力。
• 该框架为多值与单值提供了新的几何解释，以局部子群胚为语言，扩展了叶状结构理论与规范理论中的经典概念。