[论文解读] Lie monads and dualities

Isar Goyvaerts, Joost Vercruysse|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2013

Advanced Topics in Algebra被引用 6

一句话总结

本文引入了 Lie 单子和 Lie 余单子，作为在加法张量范畴中 Lie 代数与余代数的范畴化推广，使无限维情形下的对偶理论成为可能。研究证明，Lie 代数与 Lie 余代数之间的强对偶性恰好对应于其关联 Lie 单子与余单子之间的同构，该理论在通过 Takeuchi 对偶性研究 Hopf 代数时具有应用，涉及原始元与不可约元。

ABSTRACT

We study dualities between Lie algebras and Lie coalgebras, and their respective (co)representations. To allow a study of dualities in an infinite-dimensional setting, we introduce the notions of Lie monads and Lie comonads, as special cases of YB-Lie algebras and YB-Lie coalgebras in additive monoidal categories. We show that (strong) dualities between Lie algebras and Lie coalgebras are closely related to (iso)morphisms between associated Lie monads and Lie comonads. In the case of a duality between two Hopf algebras -in the sense of Takeuchi- we recover a duality between a Lie algebra and a Lie coalgebra -in the sense defined in this note- by computing the primitive and the indecomposables elements, respectively.

研究动机与目标

• 将 Lie 代数与 Lie 余代数之间的对偶理论从有限维情形推广至无限维设置。
• 在加法张量范畴中，将 Lie 单子与余单子定义为 Yang-Baxter-Lie 代数与余代数的特例。
• 建立 Lie (余)代数对偶性与它们关联 (余)单子之间同构的对应关系。
• 在新的范畴框架下，恢复已知的对偶性（如 Hopf 代数中原始元与不可约元之间的对偶性）。
• 证明在强对偶性下，通过诱导的单子-余单子同构，模范畴与余模范畴彼此等价。

提出的方法

• 在加法张量范畴中引入 Yang-Baxter-Lie 代数（YB-Lie 代数），以在不依赖对称性的情况下推广 Lie 代数。
• 利用对象的扭变带来的局部对称性，构造形式为 $-\otimes L$ 的 Lie 单子和形式为 $\mathrm{Hom}(C, -)$ 的 Lie 余单子，其中 $C$ 为 Lie 余代数。
• 在闭张量范畴中，通过满足相容性条件的自然变换，定义 YB-Lie 代数 $L$ 与 YB-Lie 余代数 $C$ 之间的对偶性。
• 证明从关联的 Lie 单子 $-\otimes L$ 到余单子 $\mathrm{Hom}(C, -)$ 的态射诱导出其各自 (余)模范畴之间的函子。
• 使用诱导函子 $\underline{\sf Ind}$ 和评估映射 $\mathrm{ev}$，将 Hopf 代数的模范畴与它们的原始元和不可约元的 Lie 模范畴联系起来。
• 证明对于一个 Takeuchi 对 $(H,K,\Diamond)$，在 $\mathrm{Mod}(H)$、$\mathrm{LieMod}(P(H))$、$\mathrm{CoMod}(K)$ 和 $\mathrm{LieCoMod}(Q(K))$ 之间的函子图可交换，从而在强对偶性下确立范畴等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限对偶 $L^\circ$ 不足的无限维情形下，如何将 Lie 代数与 Lie 余代数之间的对偶性推广？
• RQ2 在非对称张量范畴中，特别是存在辫子结构时，何种范畴结构可推广 Lie 代数与余代数？
• RQ3 Lie 单子与 Lie 余单子之间的同构如何对应于其底层 Lie (余)代数之间的对偶性？
• RQ4 在该单子框架下，能否恢复 Hopf 代数中原始元与对偶代数中不可约元之间的对偶性？
• RQ5 在何种条件下，通过对偶 Hopf 代数的模范畴与余模范畴可通过诱导的单子-余单子同构实现等价？

主要发现

• 在加法张量范畴中，YB-Lie 代数与形式为 $-\otimes L$ 的 Lie 单子之间存在双射对应，且 YB-Lie 代数上的 Lie 模等价于其关联 Lie 单子的 Eilenberg-Moore 范畴。
• 当且仅当关联的 Lie 单子态射 $-\otimes L \to \mathrm{Hom}(C, -)$ 是同构时，YB-Lie 代数 $L$ 与 YB-Lie 余代数 $C$ 之间存在强对偶性。
• 当单子-余单子态射为同构时，$L$ 与 $C$ 的 (余)模范畴彼此等价，从而确立了范畴对偶性。
• 对于一个 Takeuchi 对 $(H,K,\Diamond)$，在 $\mathrm{Mod}(H)$、$\mathrm{LieMod}(P(H))$、$\mathrm{CoMod}(K)$ 与 $\mathrm{LieCoMod}(Q(K))$ 之间的诱导函子图可交换，确认了对偶性框架的一致性。
• braided Hopf 代数 $H$ 的原始元 $P(H)$ 构成一个 YB-Lie 代数，而不可约元 $Q(H)$ 构成一个 YB-Lie 余代数，其对偶性由评估映射诱导。
• Michaelis 对 $(P(H^\circ), Q(H), \mathrm{ev})$ 总是强对偶的，且满足 $P(H^\circ) \cong Q(H)^*$，在范畴设定下推广了经典的对偶性结果。