[论文解读] Lie n-groupoids and stacky Lie groupoids

Chenchang Zhu|ArXiv.org|Sep 14, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 6

一句话总结

本文建立了李 2-群胚（具有高于 2 次的平凡高阶同伦群的单纯流形）与堆层化李群胚（SLie 群胚）之间的 1-1 对应关系，其中后者是不同可微堆层中的群胚。该对应关系通过 Morita 等价构造，利用 Kan 条件和 Morita 双bundle 来编码高阶范畴结构，并表明 SLie 群胚中的逆映射可等价地通过一个典范 Morita 双bundle $E_m \times_{J_r, G_0, e} M$ 定义，从而推广了高阶群胚中逆的概念。

ABSTRACT

We discuss two sorts of generalization of Lie groupoids. One is Lie $n$-groupoids defined as simplicial manifolds with trivial $π_{k\geq n+1}$. The other is the stacky Lie groupoid $\cG ra M$ with $\cG$ a differentiable stack. We build 1-1 correspondence between Lie 2-groupoids and stacky Lie groupoids up to a certain Morita equivalence. Equivalences of these higher groupoids are described.

研究动机与目标

• 通过将李 $n$-群胚定义为在度数 $n$ 以上具有平凡同伦群的单纯流形，将李群胚推广至高阶范畴结构。
• 将堆层化李群胚（SLie 群胚）定义为不同可微堆层中的群胚，从而实现非可积李代数胚的积分。
• 在 Morita 等价下，建立李 2-群胚与 SLie 群胚之间的 1-1 对应关系，解决李代数胚理论中不可积性的问题。
• 证明 SLie 群胚中的逆映射可等价地通过一个典范 Morita 双bundle $E_m \times_{J_r, G_0, e} M$ 定义，而无需在表示上要求群胚同构。

提出的方法

• 将李 $n$-群胚定义为满足 Kan 条件 $Kan(m,j)$ 和 $Kan!(m,j)$（对 $m < n$）的单纯流形，以确保所有高阶复合在度数 $n$ 以内存在且唯一。
• 使用单纯集和流形来建模高阶群胚，其中 $n$-单纯形表示 $n$-态射，面映射与退化映射编码源、目标和复合操作。
• 通过使用 Morita 双bundle 和良好坐标，构建一个单纯流形 $X_2 \rightrightarrows X_1 \to X_0$，从而从堆层化李群胚构造出李 2-群胚，并确保满足 Kan 条件。
• 通过群胚的神经构造堆层 $\mathcal{G}$，并利用 Morita 等价和双bundle 同构证明其满足堆层化群胚的公理，从而从李 2-群胚构造出 SLie 群胚。
• 通过证明两个方向的构造互为等价关系下的逆，从而证明李 2-群胚与 SLie 群胚之间的 Morita 等价，关键在于 $E_m \times_{J_r, G_0, e} M$ 是从 $G$ 到 $G^{op}$ 的 Morita 双bundle。
• 利用 Morita 双bundle 编码 SLie 群胚中的逆映射，表明此类双bundle 的存在性意味着存在一个良定义的逆 1-态射。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将李 $n$-群胚定义为在度数 $n$ 以上具有平凡同伦群的单纯流形？它们是否为高阶李理论提供了自然框架？
• RQ2 堆层化李群胚（SLie 群胚）如何用于积分非可积李代数胚？其与经典李群胚的关系是什么？
• RQ3 在 Morita 等价下，李 2-群胚与 SLie 群胚之间是否存在 1-1 对应关系？该对应关系如何构造？
• RQ4 SLie 群胚中的逆映射能否完全通过一个 Morita 双bundle 定义，而无需在表示上要求群胚同构？
• RQ5 在什么条件下，双bundle $E_m \times_{J_r, G_0, e} M$ 是 Morita 等价？这与逆的存在性有何关联？

主要发现

• 在 Morita 等价下，建立了李 2-群胚与堆层化李群胚之间的 1-1 对应关系，表明每个李 2-群胚均可由一个堆层化李群胚导出，反之亦然。
• SLie 群胚中的逆映射等价于存在一个从 $G$ 到 $G^{op}$ 的 Morita 双bundle $E_m \times_{J_r, G_0, e} M$，该双bundle 编码了逆 1-态射，且无需依赖群胚同构。
• 双bundle $E_m \times_{J_r, G_0, e} M$ 自然满足逆的 2-单位元公理，其主性保证了逆构造的唯一性。
• 通过 $E_m \times_{J_r, G_0, e} M$ 构造逆映射是典范的，不依赖于额外选择，推广了经典群胚中逆映射的概念。
• 本文表明，SLie 群胚中的逆映射由群胚同构 $i: G \to G$ 给出，当且仅当 $E_m \times_{J_r, G_0, e} M$ 是 $G_0$ 上关于 $G$ 的平凡右 $G$-主丛。
• 李 2-群胚与 SLie 群胚之间的对应关系在 1-Morita 等价下是稳健的，且两个构造互为等价关系下的逆。