[论文解读] Lie rackoids integrating Courant algebroids

Camille Laurent-Gengoux, Friedrich Wagemann|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文引入了一个无穷维李rackoid $Y = \mathcal{C}^\infty([0,1], T^*M)$，通过Dorfman括号自同构导出的rack积，实现了对标准Courant代数胚 $\mathbb{T}M = TM \oplus T^*M$ 的积分。关键贡献在于证明：$Y$ 关于适当等价关系的商空间，即为可积Dirac结构的Weinstein李群丛，且rackoid积恢复了双截面在路径上的伴随作用。

ABSTRACT

We construct an infinite dimensional Lie rackoid Y which hosts an integration of the standard Courant algebroid. As a set, Y = C $\infty$ ([0, 1], T * M) for a compact manifold M. The rackoid product is by automorphisms of the Dorfman bracket. The first part of the article is a study of the Lie rackoid Y and its tangent Leibniz algebroid a quotient of which is the standard Courant algebroid. In a second part, we study the equivalence relation related to the quotient on the rackoid level and restrict then to an integrable Dirac structure. We show how our integrating object contains the corresponding integrating Weinstein Lie groupoid in the case where the Dirac structure is given by a Poisson structure.

研究动机与目标

• 为紧致流形 $M$ 构造一个全局微分几何对象——具体而言，一个积分标准Courant代数胚 $\mathbb{T}M = TM \oplus T^*M$ 的李rackoid。
• 提供一个自然恢复可积Dirac结构的Weinstein李群丛的框架，克服以往分级微分几何方法的局限性。
• 阐明 $Y$ 上rackoid结构、Dorfman括号自同构与商空间上群丛结构之间的精确关系。

提出的方法

• 李rackoid $Y$ 定义为余切丛 $T^*M$ 中光滑路径的空间，其源映射与目标映射由区间 $[0,1]$ 端点的取值给出。
• 双截面 $\Sigma = (\phi_t, \eta_t)$ 上的rack积通过微分同胚 $\phi_1$ 与闭2-形式 $d\beta_\Sigma$ 定义，其中 $\beta_\Sigma = \int_0^1 \phi_s^*\eta_s \, ds$，并保持Dorfman括号结构。
• 证明 $Y$ 的切Leibniz代数胚允许一个与标准Courant代数胚同构的商，从而确立了无穷小相容性。
• 在 $Y$ 上定义等价关系 $\sim$，对应一个Fréchet叶状结构，该关系将因保持Dirac结构的双截面作用而等价的路径识别出来。
• 对于Dirac结构 $D \subset \mathbb{T}M$，子对象 $Y_D \subset Y$ 由位于 $D$ 中的路径构成，且证明 $Y_D / \sim$ 装备有李群丛结构。
• 证明 $Y_D / \sim$ 上的rackoid积与双截面在Weinstein群丛上的伴随作用一致，从而将rackoid构造与经典积分理论联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个全局微分几何对象，以积分标准Courant代数胚（其本身不是李代数胚，故不适用于经典积分）？
• RQ2 如何利用 $Y$ 上的rackoid结构恢复可积Dirac结构的Weinstein李群丛？
• RQ3 $Y$ 的双截面上rackoid积与Dirac结构的李群丛积分中双截面的伴随作用之间存在何种精确关系？
• RQ4 李rackoid $Y$ 关于等价关系 $\sim$ 的商空间是否具有流形结构，且其在单位元处的切空间是否与Courant代数胚一致？

主要发现

• 构造了无穷维李rackoid $Y = \mathcal{C}^\infty([0,1], T^*M)$，其双截面上具有由Dorfman括号自同构导出的光滑rack积。
• 证明了 $Y$ 的切Leibniz代数胚允许一个与 $\mathbb{T}M$ 上标准Courant代数胚同构的商，从而确认了其无穷小相容性。
• 定义在 $Y$ 上的等价关系 $\sim$ 诱导出一个Fréchet叶状结构，且证明商空间 $Y / \sim$ 具有适当的流形结构，且在单位元处的切空间正确。
• 对于可积Dirac结构 $D$，子对象 $Y_D \subset Y$（即位于 $D$ 中的路径）是余辛的，当且仅当 $D$ 是可积的，且 $Y_D / \sim$ 即为积分 $D$ 的Weinstein李群丛。
• 在 $Y_D / \sim$ 上的rackoid积与双截面在李群丛上的伴随作用一致，从而确立了rackoid结构可恢复群丛结构。