[论文解读] Lie-Semigroup Structures for Reachability and Control of Open Quantum Systems: Viewing Markovian Quantum Channels as Lie Semigroups and GKS-Lindblad Generators as Lie Wedge

Gunther Dirr, Uwe Helmke+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2008

Quantum Information and Cryptography参考文献 59被引用 26

一句话总结

本文为开放量子系统建立了李-半群框架，将科萨科夫斯基-林德布拉德生成元识别为半群的李楔，并将可分性与马尔可夫动力学联系起来。该框架实现了可到达集和可控制性的表征，表明在何种情况下闭系统最优控制足够有效，而在何种情况下必须引入开放系统特有的参数才能实现高保真控制。

ABSTRACT

In view of controlling finite dimensional open quantum systems, we provide a unified Lie-semigroup framework describing the structure of completely positive trace-preserving maps. It allows (i) to identify the Kossakowski-Lindblad generators as the Lie wedge of a subsemigroup, (ii) to link properties of Lie semigroups such as divisibility with Markov properties of quantum channels, and (iii) to characterise reachable sets and controllability in open systems. We elucidate when time-optimal controls derived for the analogous closed system already give good fidelities in open systems and when a more detailed knowledge of the open system (e.g., in terms of the parameters of its Kossakowski-Lindblad master equation) is actually required for state-of-the-art optimal-control algorithms. -- As an outlook, we sketch the structure of a new, potentially more efficient numerical approach explicitly making use of the corresponding Lie wedge.

研究动机与目标

• 使用李-半群理论统一描述开放量子系统中的完全正定迹保持映射。
• 确立科萨科夫斯基-林德布拉德生成元构成马尔可夫量子通道李半群的李楔。
• 将半群的可分性与开放量子动力学的马尔可夫性质联系起来。
• 利用李理论工具表征开放量子系统中的可到达集和可控制性。
• 确定在何种情况下闭系统的时间最优控制在开放系统中仍有效，以及在何种情况下必须引入开放系统特有的参数。

提出的方法

• 将马尔可夫量子通道建模为由科萨科夫斯基-林德布拉德生成元生成的李半群。
• 将科萨科夫斯基-林德布拉德生成元识别为该半群的李楔，从而实现几何分析。
• 利用李理论概念（如不变锥体和半群可分性）分析动力学行为。
• 在黎曼流形上应用梯度流方法，以解决受限状态空间中的最优控制问题。
• 利用李楔的代数结构设计数值高效的控制算法。
• 在真实噪声和退相干条件下，比较闭系统最优控制与开放系统优化控制的性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 科萨科夫斯基-林德布拉德生成元如何被解释为李半群的李楔？
• RQ2 李半群中的可分性与开放量子动力学的马尔可夫性质之间存在何种关系？
• RQ3 在何种条件下，闭系统的时间最优控制可在开放系统中实现高保真度？
• RQ4 如何利用李-半群结构改进开放量子系统最优控制的数值算法？
• RQ5 不变锥体和半群结构在表征开放量子系统中可到达集时发挥何种作用？

主要发现

• 正式地将科萨科夫斯基-林德布拉德生成元识别为马尔可夫量子通道李半群的李楔。
• 半群的可分性对应于量子动力学的马尔可夫性质，从而实现了对时变局部演化过程的几何表征。
• 可利用半群及其关联李楔的李理论结构表征开放量子系统中的可到达集。
• 仅当退相干较弱或被良好建模时，从闭系统导出的时间最优控制才可能在开放系统中实现高保真度。
• 在噪声开放系统中实现高保真控制，必须显式掌握科萨科夫斯基-林德布拉德主方程的参数。
• 提出一种新数值方法，利用李楔结构，可能提升开放量子系统最优控制的效率。