[论文解读] Lie subalgebras of the Weyl algebra. Lie algebras of order 3 and their application to cubic supersymmetry

Adrian Tanasă|ArXiv.org|Sep 22, 2005

Nonlinear Waves and Solitons被引用 3

一句话总结

本文对 Weyl 代数 𝒜₁ 的有限维李子代数进行了分类，并引入了作为李代数推广的三阶李代数，展示了其在立方超对称性中的应用。本文建立了此类子代数的分类定理，构造了三阶基本李代数的表示与形变，并通过 Weyl 代数框架将它们与立方超对称性联系起来。

ABSTRACT

In the first part we present the Weyl algebra and our results concerning its finite-dimensional Lie subalgebras. The second part is devoted to a more exotic algebraic structure, the Lie algebra of order 3. We set the basis of a theory of deformations and contractions of these algebraic structures. We then concentrate on a particular such Lie algebra of order 3 which extends in a non-trivial way the Poincaré algebra, this extension being different of the supersymmetric extension. We then focus on the construction of a field theoretical model based on this algebra, the {\it cubic supersymmetry} ({\it 3SUSY}). For this purpose we obtain bosonic multiplets with whom we construct invariant Lagrangians. We then study the compatibility between this new symmetry and the abelian gauge symmetry. Furthermore, the analyse of possible interactions shows that interactions terms are not allowed by the cubic supersymmetry invariance. Finally we establish results regarding the extension in arbitrary dimensions of our model.

研究动机与目标

• 对 Weyl 代数 𝒜₁ 的有限维李子代数进行分类。
• 定义并研究作为李代数推广的三阶李代数。
• 构造三阶基本李代数的表示与形变。
• 建立三阶李代数与立方超对称性之间的联系。
• 探索 𝒜₁ 和 sl(2) 的自同构群作用下一类李代数的轨道结构。

提出的方法

• 应用 Weyl 代数的 Dixmier 划分来对有限维李子代数进行分类。
• 利用 𝒜₁ 中 sl(2) 的实现作为构造三阶李代数的基础结构。
• 利用自同构群 Aut(𝒜₁) 和 Aut(sl(2)) 分析李代数的等价类。
• 引入阶为 F 的李代数概念，其中 F=3 为特殊情况。
• 应用形变理论研究三阶李代数的连续族。
• 利用 𝒜₁ 中的矩阵表示与多项式实现来构造显式模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些有限维李代数可以作为 Weyl 代数 𝒜₁ 的子代数实现？
• RQ2 Der(𝒜₁) 的有限维李子代数的完整分类是什么？
• RQ3 三阶李代数如何推广标准李代数？其定义性质是什么？
• RQ4 在 Aut(𝒜₁) × Aut(sl(2)) 作用下，特定三阶李代数族的轨道结构如何？
• RQ5 三阶李代数如何形变？这对立方超对称性有何影响？

主要发现

• 建立了在 Weyl 代数 𝒜₁ 中可实现的有限维李代数的完整分类定理。
• 在 Aut(𝒜₁) × Aut(sl(2)) 作用下，三阶李代数族 F 的等价类被完全刻画，其稳定子群也被确定。
• 通过 𝒜₁ 中的多项式实现，显式构造了三阶基本李代数的表示。
• 研究了三阶基本李代数的形变，表明存在非平凡的连续族。
• 本文建立了三阶李代数与立方超对称性之间的直接联系，为这类对称性提供了新的代数框架。
• 证明了族 F 在 Aut(𝒜₁) × Aut(sl(2)) 作用下的轨道是分类此类李代数的完备不变量。