[论文解读] Lie superalgebra structures in cohomology spaces of Lie algebras with coefficients in the adjoint representation

Alexei Lebedev, Dimitry Leites+1 more|ArXiv.org|Apr 6, 2004

Advanced Topics in Algebra参考文献 14被引用 7

一句话总结

本文利用 Nijenhuis 对积，构造了在 Lie（超）代数关于伴随表示的上同调复形与上链复形上，Lie 超代数与微分分次（DG）Lie 超代数结构。它明确描述了单 Lie 代数的最大幂零子代数以及 $ G_2$、$ sl(2)$、$ sl(3)$ 等例外情形下的结果代数，表明当 Lie 代数为交换时，上同调代数同构于 $ vec( Dim Pi( mathfrak{n}))$，即一个单 Lie 超代数。

ABSTRACT

The space of Lie algebra cohomology is usually described by the dimensions of components of certain degree even for the adjoint module as coefficients when the spaces of cochains and cohomology can be endowed with a Lie superalgebra structure. Such a description is rather imprecise: these dimensions may coincide for cohomology spaces of distinct algebras. We explicitely describe the Lie superalgebras on the space of cohomology of the maximal nilpotent subalgebra of any simple finite dimensional Lie algebra. We briefly review related results by Grozman, Penkov and Serganova, Poletaeva, and Tolpygo. We cite a powerful Premet's theorem complementary to the Borel-Weil-Bott theorem. We mention relations with the Nijenhuis bracket and nonholonomic systems.

研究动机与目标

• 在 Lie 代数关于伴随表示的上同调与上链复形上构造 Lie 超代数与 DG Lie 超代数结构。
• 分析单有限维 Lie 代数的最大幂零子代数 $ mathfrak{n}$ 的 $\nmathfrak{l}_{\bullet} = \nPi(H^{\bullet+1}(\nmathfrak{n}; \nmathfrak{n}))$ 的结构。
• 显式计算 $ mathfrak{g}_2$、$ sl(2)$ 和 $ sl(3)$ 等例外 Lie 代数的 $ mathfrak{l}_{\bullet}$ 的实现形式。
• 研究当 $ mathfrak{n}$ 为交换代数时的情形，证明 $ mathfrak{l}_{\bullet} \cong \nvec(\nDim \nPi(\nmathfrak{n}))$。
• 将这些结构与超流形 $ hat{M} = (M, \nOmega(M))$ 上外微分的中心化子作为向量场的关系联系起来。

提出的方法

• 利用 Nijenhuis 对积在 $\nPi(C^{\bullet+1}(\nmathfrak{n}; \nmathfrak{n}))$ 上定义 Lie 超代数结构，其解释为 $\nvec(\nhat{M})$ 中外微分 $d$ 的中心化子。
• 通过奇偶性函子 $\nPi$ 对上同调复形 $H^{\bullet}(\nmathfrak{n}; \nmathfrak{n})$ 进行变换，定义 $\nmathfrak{l}_{\bullet} = \nPi(H^{\bullet+1}(\nmathfrak{n}; \nmathfrak{n}))$，并赋予其 DG Lie 超代数结构。
• 该构造依赖于将 $d$ 解释为超流形 $\nhat{M} = (M, \nOmega(M))$ 上的次数为 1 的同调向量场，其中 $M$ 为一光滑流形，$\nOmega(M)$ 为其德拉姆超丛。
• 当 $ mathfrak{n}$ 为交换代数（如在 Hermitian 对称空间 $G/P$ 中）时，微分 $d$ 恒为零，导致 $\nmathfrak{l}_{\bullet} \cong \nvec(\nDim \nPi(\nmathfrak{n}))$，即一个单 Lie 超代数。
• 本文使用计算机辅助计算，并应用 Premet 定理计算非 $\nmathfrak{g}$-模 $N$ 的 $H^i(\nmathfrak{n}; N)$，从而实现对例外情形的显式计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 Lie 超代数 $\nmathfrak{n}$，$\nPi(C^{\bullet+1}(\nmathfrak{n}; \nmathfrak{n}))$ 上的 Lie 超代数结构是什么？它与 Nijenhuis 对积有何关系？
• RQ2 上同调代数 $H^{\bullet}(\nmathfrak{n}; \nmathfrak{n})$ 经奇偶性函子 $\nPi$ 变换后如何变化？$\nmathfrak{l}_{\bullet} = \nPi(H^{\bullet+1}(\nmathfrak{n}; \nmathfrak{n}))$ 上的 DG Lie 超代数结构是什么？
• RQ3 对于 $ mathfrak{g}_2$ 的最大幂零子代数 $ mathfrak{n}$，$ mathfrak{l}_{\bullet}$ 的显式结构是什么？它是否表现出普遍或典范形式？
• RQ4 当 $ mathfrak{n}$ 为交换代数（如在 Hermitian 对称空间 $G/P$ 中）时，$ mathfrak{l}_{\bullet}$ 发生了什么变化？它是否同构于 $ vec(\nDim \nPi(\nmathfrak{n}))$？
• RQ5 当 $ mathfrak{n} = \nvec(M)$ 时，$ mathfrak{L}_{\bullet}$ 中的同调元素（满足 $[x,x] = 0$ 的奇元 $x$）如何出现？

主要发现

• 对任意 Lie 超代数 $\nmathfrak{n}$，空间 $\nmathfrak{L}_{\bullet} = \nPi(C^{\bullet+1}(\nmathfrak{n}; \nmathfrak{n}))$ 通过 Nijenhuis 对积继承 DG Lie 超代数结构。
• 基于上同调的代数 $\nmathfrak{l}_{\bullet} = \nPi(H^{\bullet+1}(\nmathfrak{n}; \nmathfrak{n}))$ 是一个 DG Lie 超代数，其结构由上链复形上的 Nijenhuis 对积诱导。
• 当 $ mathfrak{n}$ 为交换代数时（如在 Hermitian 对称空间 $G/P$ 中），微分 $d$ 恒为零，且 $ mathfrak{l}_{\bullet} \cong \nvec(\nDim \nPi(\nmathfrak{n}))$，即一个单 Lie 超代数。
• 对于 $ mathfrak{g}_2$，$ mathfrak{l}_{\bullet}$ 的结构被猜想为具有典范形式，且本文中显式描述了其完整形式。
• 对于 $ sl(2)$ 和 $ sl(3)$，本文显式计算了 $ mathfrak{l}_{\bullet}$，表明其具有非平凡的 DG Lie 超代数结构。
• 本文列出了 $ mathfrak{L}_{\bullet}$ 中的同调元素（奇元 $x$ 满足 $[x,x] = 0$），特别是针对 $ mathfrak{n} = \nvec(M)$ 的情形，提供了此类元素在上链复形中的显式例子。