[论文解读] Lie superalgebras of Krichever-Novikov type. Almost-grading and central extensions

Martin Schlichenmaier|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 16被引用 2

一句话总结

本文引入了Krichever-Novikov型李超代数作为经典Virasoro型代数的高亏格、多点推广，以将经典分次替换为通过将极点位置划分为两个不相交集合而定义的准分次。证明了在重新标度和等价意义下，存在唯一非平凡的中心扩张，并给出了显式公式；同时对相对于该准分次的有界上链给出了完整分类。

ABSTRACT

Abstract. Classically important examples of Lie superalgebras have been constructed starting from the Witt and Virasoro algebra. In this article we consider Lie superalgebras of Krichever-Novikov type. These algebras are multi-point and higher genus equivalents. The grading in the classical case is replaced by an almost-grading. The almost-grading is determined by a splitting of the set of points were poles are allowed into two disjoint subsets. With respect to a fixed splitting, or equivalently with respect to an almost-grading, it is shown that there is up to rescaling and equivalence a unique non-trivial central extension. It is given explicitly. Furthermore, a complete classification of bounded cocycles (with respect to the almost-grading) is given. 1.

研究动机与目标

• 将经典的李超代数（如Virasoro代数）推广到具有多个标记点的高亏格黎曼曲面。
• 用基于极点位置划分的准分次结构替代经典情况下的标准分次。
• 在该推广设定下，对相对于准分次的所有有界上链进行分类。
• 确定该框架下中心扩张的结构与唯一性。

提出的方法

• 通过将允许极点的标记点集合划分为两个不相交子集，定义Krichever-Novikov型李超代数上的准分次。
• 利用准分次分析代数的上同调结构，特别关注2-上链。
• 通过其在准分次下的行为表征有界上链，限制为在度数上一致有界的上链。
• 应用表示论与上同调技术，对所有此类上链按等价关系进行分类。
• 推导出与准分次相容的唯一非平凡中心扩张的显式形式。
• 通过分析相对于准分次的上同调群H^2的结构，证明唯一性（在重新标度和等价意义下）。

实验结果

研究问题

• RQ1 在准分次下，Krichever-Novikov型李超代数中的中心扩张具有何种结构？
• RQ2 极点位置的划分选择如何影响有界上链的存在性与分类？
• RQ3 对于给定的准分次，在重新标度和等价意义下是否存在唯一的非平凡中心扩张？
• RQ4 在此推广设定下，中心扩张的显式公式是什么？
• RQ5 有界上链在准分次下的行为如何？其完整分类是什么？

主要发现

• 在固定准分次下，Krichever-Novikov型李超代数存在唯一非平凡中心扩张（在重新标度和等价意义下）。
• 中心扩张被显式构造，其依赖于将标记点集合划分为两个不相交子集的选择。
• 相对于准分次的所有有界上链均被完整分类，提供了其上同调结构的完整描述。
• 有界上链的分类与亏格和标记点数量无关，仅依赖于定义准分次的划分。
• 准分次为将经典Virasoro代数结果推广到高亏格和多点设定提供了自然框架。
• 在假设相对于准分次有界性的条件下，中心扩张的唯一性成立，这推广了经典情况下的有限类型条件。