[论文解读] Lie symmetry analysis of nonlinear evolution equation for description nonlinear waves in a viscoelastic tube

Mehdi Nadjafikhah, Vahid Shirvani-Sh|arXiv (Cornell University)|May 3, 2011

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 5被引用 14

一句话总结

本文将李对称分析方法应用于描述黏弹性管中非线性波的五阶非线性演化方程。通过构建一维和二维李子代数的最优系统，作者利用对称约化方法将偏微分方程降阶为常微分方程，并通过雅可比椭圆函数获得显式解，包括伽利略不变解和行波解形式。

ABSTRACT

In this paper, the Lie symmetry method is performed for the nonlinear evolution equation for description nonlinear waves in a viscoelastic tube. we will find one and two-dimensional optimal system of Lie subalgebras. Furthermore, preliminary classification of its group-invariant solutions are investigated.

研究动机与目标

• 分析描述黏弹性管中非线性波传播的五阶非线性演化方程的李对称性。
• 为该方程构建一维和二维李子代数的最优系统。
• 通过对称约化方法对群不变解进行初步分类。
• 利用由对称生成元导出的不变坐标，将原偏微分方程约化为常微分方程。
• 通过约化后的常微分方程推导显式解析解，包括伽利略不变解和行波解。

提出的方法

• 应用李点对称方法，利用五阶导数的延拓公式，确定该方程的无穷小生成元。
• 计算在对称群作用下方程的不变性条件，以推导出无穷小量的确定系统。
• 通过分析伴随作用并分类向量场的等价类，构建一维和二维子代数的最优系统。
• 通过特征线法确定对称生成元的不变量，以定义用于约化的新型坐标。
• 在新坐标系中使用链式法则，将原偏微分方程转化为每种对称情形下的约化常微分方程。
• 解析求解所得常微分方程，包括涉及雅可比椭圆函数和有理函数的解的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 五阶非线性演化方程在描述黏弹性管中非线性波时，其完整的李对称群是什么？
• RQ2 如何为该方程构建一维和二维李子代数的最优系统？
• RQ3 通过基于对称的坐标变换约化偏微分方程，可获得哪些群不变解？
• RQ4 在对称约化过程中，显式解析解（特别是伽利略不变解和行波解）如何呈现？
• RQ5 方程中的常数如何影响约化后常微分方程及其解的结构与形式？

主要发现

• 该方程具有五维李代数对称性，其生成元包括时间平移、空间平移、伽利略提升以及类似尺度变换的对称性。
• 已构建一维子代数的最优系统，其代表元包括 ∂ₜ、∂ₓ、t∂ₓ + (1/a)∂ᵤ，以及包含 t∂ₓ 和 ∂ₜ 的组合形式。
• 对于伽利略不变对称性 t∂ₓ + (1/a)∂ᵤ，解约化为 u(x,t) = (x + a c₁)/(a t)，为关于 t 和 x 的有理函数解。
• 对于行波对称性 c₀∂ₓ + ∂ₜ，约化后的常微分方程支持以雅可比椭圆函数表示的周期解：ζ = a₀ + A sn⁴(mχ,k) + B sn(mχ,k) d/dχ sn(mχ,k)。
• 对称性 ∂ₜ 导出的约化常微分方程为 aζζₓ + bζₓ³ + cζₓ⁴ + dζₓ⁵ - eζₓ² = 0，该方程支持空间上的定态解。
• 对称性 ∂ₓ 导出平凡解 u(x,t) = c，即时间常数解，其来源于条件 ζₓ = 0。