[论文解读] Lieb-Robinson Bounds and Existence of the Thermodynamic Limit for a Class of Irreversible Quantum Dynamics

Bruno Nachtergaele, Anna Vershynina+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2011

Quantum Information and Cryptography参考文献 26被引用 43

一句话总结

本文为具有时变、空间衰减生成元的一类不可逆量子动力学在晶格系统上的李布-罗宾逊界提供了证明。通过证明传播界并利用局部可观测量上的柯西序列论证，本文展示了热力学极限的存在性，其表现为在完整可观测量代数上的一族强连续、完全正、保持单位元的一参数流。

ABSTRACT

We prove Lieb-Robinson bounds and the existence of the thermodynamic limit for a general class of irreversible dynamics for quantum lattice systems with time-dependent generators that satisfy a suitable decay condition in space.

研究动机与目标

• 为具有时变生成元的量子晶格系统上的不可逆量子动力学建立李布-罗宾逊型传播界。
• 证明此类动力学在强连续一参数流（完全正、保持单位元的映射）意义下的热力学极限存在性。
• 将李布-罗宾逊界的适用范围扩展至具有空间衰减相互作用的不可逆、非幺正动力学。
• 为统计力学、量子光学和量子信息中具有耗散性和时变动力学的量子系统体性质研究提供严格的框架。
• 通过引入具有适当空间衰减的时变非哈密顿生成元，推广先前关于热力学极限的研究结果。

提出的方法

• 在可数度量空间 $\Gamma$ 上定义一个量子晶格系统，其中包含满足正则性条件的均匀可积、空间衰减函数 $F$。
• 通过时变生成元 $\mathcal{L}_\Lambda(t)$ 建模动力学，其为有界局部项之和，空间衰减由 $F_\mu(x) = e^{-\mu x}F(x)$ 控制。
• 证明有限体积可观测量的时间演化 $\gamma_{t,s}^{(n)}$ 的李布-罗宾逊界，表明局部可观测量以有限速度传播。
• 利用李布-罗宾逊界估计局部 $A$ 的差值 $\|\gamma_{t,s}^{(n)}(A) - \gamma_{t,s}^{(m)}(A)\|$，表明当 $n,m \to \infty$ 时该差值趋于零。
• 通过涉及完全有界范数 $\|\Psi_Z(r)\|_{\rm cb}$ 和空间衰减 $F_\mu$ 的积分估计，建立序列 $\gamma_{t,s}^{(n)}(A)$ 的柯西性质。
• 通过局部可观测量上的一致收敛性和可分性论证，证明极限动力学 $\gamma_{t,s}^\Gamma$ 的强连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有时变、空间衰减生成元的不可逆量子动力学建立李布-罗宾逊界？
• RQ2 此类动力学在完整可观测量代数上作为强连续、完全正、保持单位元的流，其热力学极限是否存在？
• RQ3 生成元的空间衰减和时变性需满足何种条件，才能保证有限传播速度及有限体积动力学的收敛性？
• RQ4 耗散性（非哈密顿）项的引入如何影响热力学极限的存在性与结构？
• RQ5 李布-罗宾逊界框架在多大程度上可从幺正动力学推广至具有时变生成元的一般完全正半群？

主要发现

• 为具有时变、空间衰减生成元的不可逆量子动力学建立了李布-罗宾逊界，表明局部可观测量以有限速度传播。
• 证明了由有限体积生成元生成的动力学是可观测量代数上完全正、保持单位元的映射族，且定义良好。
• 动力学的热力学极限作为 $\mathcal{A}_\Gamma$ 上的一族强连续一参数流 $\gamma_{t,s}^\Gamma$ 存在。
• 极限动力学 $\gamma_{t,s}^\Gamma$ 是完全正、保持单位元的，并且在时间变量 $s$ 和 $t$ 上均强连续。
• 有限体积动力学向热力学极限的收敛性在紧致时间区间和局部可观测量上是一致的，其保证源于 $F_\mu$ 的指数衰减。
• 证明依赖于算子范数中的柯西序列论证，有限体积演化之间的差值被一个包含 $\|\Psi_Z(r)\|_{\rm cb}$ 和空间衰减 $F_\mu$ 的积分所控制，且在热力学极限下趋于零。