[论文解读] Lieb-Robinson Bounds for Multi-Commutators and Applications to Response Theory

J. -B. Bru, W. de Siqueira Pedra|LA Referencia (Red Federada de Repositorios Institucionales de Publicaciones Científicas)|Feb 28, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 15

一句话总结

本文将 Lieb-Robinson 一致性扩展至量子多体系统中的多换向子，实现了对格点上相互作用费米子时间依赖动力学的严格分析。关键贡献在于推导出三阶及以上阶数的多换向子界，这些界确立了非自治动力学基本解的存在性，并在线性和非线性响应理论中取得新结果，包括交流电导率测度的高频衰减。

ABSTRACT

We generalize to multi-commutators the usual Lieb-Robinson bounds for commutators. In the spirit of constructive QFT, this is done so as to allow the use of combinatorics of minimally connected graphs (tree expansions) in order to estimate time-dependent multi-commutators for interacting fermions. Lieb-Robinson bounds for multi-commutators are effective mathematical tools to handle analytic aspects of the dynamics of quantum particles with interactions which are non-vanishing in the whole space and possibly time-dependent. To illustrate this, we prove that the bounds for multi-commutators of order three yield existence of fundamental solutions for the corresponding non-autonomous initial value problems for observables of interacting fermions on lattices. We further show how bounds for multi-commutators of an order higher than two can be used to study linear and non-linear responses of interacting fermions to external perturbations. All results also apply to quantum spin systems, with obvious modifications. However, we only explain the fermionic case in detail, in view of applications to microscopic quantum theory of electrical conduction discussed here and because this case is technically more involved.

研究动机与目标

• 将 Lieb-Robinson 一致性从标准换向子推广至量子格点系统中任意阶数的多换向子。
• 在具有时变相互作用的无限体积费米子系统中，建立非自治初值问题基本解的存在性。
• 为研究相互作用费米子系统中外部微扰引起的线性和非线性响应，提供严格的数学框架。
• 利用高阶多换向子界推导交流电导率测度在高频下的衰减性质。
• 将先前关于自由费米子的结果扩展至具有短程相互作用的相互作用系统，支持在交流 regime 下对欧姆定律和焦耳定律的微观推导。

提出的方法

• 基于最小连通图（树展开）的组合技术，将 Lieb-Robinson 一致性推广至多换向子，灵感源自构造量子场论。
• 定义了包含密度-密度相互作用和 Yukawa 型势的短程相互作用的巴拿赫空间，仅排除非可 summable 的库仑势。
• 应用强连续半群理论的工具，将界扩展至具有无界、时变生成元的时变、非自治动力学。
• 利用新的多换向子界，推导出在相互作用快速空间衰减条件下的相关函数的树状衰减估计。
• 通过多换向子估计控制时序指数演化，建立非自治动力学基本解的存在性。
• 将界应用于推导交流电导率测度的高频渐近行为，表明对于足够快衰减的相互作用，其具有衰减性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Lieb-Robinson 一致性能否在相互作用费米子系统中推广至三阶及以上阶数的多换向子？
• RQ2 高阶多换向子界是否能确保具有时变相互作用的非自治量子动力学基本解的存在性？
• RQ3 这些界能否用于推导交流电导率测度在高频下的严格衰减性质？
• RQ4 多换向子界如何促进对量子多体系统中线性响应非线性修正的研究？
• RQ5 这些界在多大程度上支持在交流扰动下对相互作用费米子系统中欧姆定律和焦耳定律的微观推导？

主要发现

• 三阶及以上阶数的 Lieb-Robinson 多换向子界保证了在具有时变相互作用的无限体积费米子系统中，非自治初值问题基本解的存在性。
• 当相互作用以足够大的多项式度数衰减时，界可导出时序多换向子的树状衰减估计。
• 对于衰减快于 $ r^{-2d} $ 的相互作用，交流电导率测度表现出高频衰减，且电导率核的二阶导数测度为正且有限。
• 该方法实现了对相互作用费米子在交流 regime 下欧姆定律和焦耳定律的严格推导，扩展了先前关于自由费米子的结果。
• 该结果适用于量子自旋系统（经轻微修改），但本文聚焦于费米子，因其技术复杂性及与电导理论的相关性。
• 该框架支持对非线性响应修正的研究，超越了标准线性响应理论。