[论文解读] Lieb-Schultz-Mattis theorems for symmetry protected topological phases

Yuan-Ming Lu|arXiv (Cornell University)|May 12, 2017

Topological Materials and Phenomena参考文献 1被引用 27

一句话总结

该论文通过在二维系统中以磁性平移对称性取代晶格平移对称性，建立了对对称保护拓扑（SPT）相的新一类Lieb-Schultz-Mattis定理。它证明了除非系统是具有鲁棒无能隙边界模式的拓扑相，否则唯一、对称、能隙化、短程纠缠的基态不可能存在，尤其在每个原胞中具有奇数个Majorana零模的费米子系统，或具有时间反演对称性和分数任何任何子的玻色子系统中，从而为识别相互作用量子系统中的SPT序提供了一个通用框架。

ABSTRACT

The Lieb-Schultz-Mattis (LSM) theorem and its descendants represent a class of powerful no-go theorems that rule out any short-range-entangled (SRE) symmetric ground state irrespective of the specific Hamiltonian, based only on certain microscopic inputs such as symmetries and particle filling numbers. In this work, we introduce and prove a new class of LSM-type theorems, where any symmetry-allowed SRE ground state must be a symmetry-protected topological (SPT) phase with robust gapless edge states. The key ingredient is to replace the lattice translation symmetry in usual LSM theorems by magnetic translation symmetry. These theorems provide new insights into numerical models and experimental realizations of SPT phases in interacting bosons and fermions.

研究动机与目标

• 将Lieb-Schultz-Mattis（LSM）定理框架从传统的晶格平移对称性推广到包含磁性平移对称性。
• 建立严格的排除定理，排除在特定填充和对称性条件下二维系统中存在对称的短程纠缠（SRE）能隙基态的可能性。
• 证明此类系统必须为具有鲁棒无能隙边界态的对称保护拓扑（SPT）相。
• 为识别相互作用费米子和玻色子中的SPT序提供理论基础，尤其在数值和实验可实现的模型中。
• 通过对称保护拓扑约束，统一非相互作用与强关联系统中SPT相的理解。

提出的方法

• 在LSM定理中用磁性平移对称性替代标准晶格平移对称性，其定义为每胞元的通量为 $\phi = 2\pi p/q$。
• 使用磁性平移代数 $\tilde{T}_1 \tilde{T}_2 \tilde{T}_1^{-1} \tilde{T}_2^{-1} = e^{i\phi \hat{F}}$，其中 $\hat{F}$ 为总费米子数算符。
• 应用扭曲边界条件和通量插入方法，探测基态对对称性变换的响应。
• 使用圆柱面上基态的Schmidt分解，分析纠缠本征态的对称量子数。
• 分析Schmidt态在时间反演和电荷对称性下的变换性质，以探测拓扑泵浦和边界态形成。
• 证明通过 $\pi$ 通量改变边界条件会引致对称量子数的位移，表明泵浦了一个Kramers双重态或任意子激发，这仅与非平凡SPT相相容。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有磁性平移对称性（$\phi = \pi$）的二维费米子系统中，若每个原胞含有奇数个Majorana零模，是否存在唯一、对称、能隙化、短程纠缠的基态？
• RQ2 磁性平移对称性对相互作用费米子和玻色子系统中SRE对称基态的存在施加了何种约束？
• RQ3 分数填充、时间反演对称性和磁通量之间的相互作用如何导致拓扑序的出现？
• RQ4 在何种条件下，$\pi$-通量插入会诱导出表明非平凡SPT相的拓扑响应？
• RQ5 LSM定理能否被推广至超越平移对称性，以包含磁性平移对称性，从而保护无能隙边界模式？

主要发现

• 若存在磁性平移对称性（$\phi = \pi$），在每个原胞中具有奇数个Majorana零模的二维费米子系统中，唯一对称能隙SRE基态被禁止。
• 该系统必须是类D中 $\nu = $ 奇数的拓扑超导体，其具有中心荷 $c_- = \nu/2$ 的手性Majorana边界模式，这符合拓扑指标的要求。
• 对于具有时间反演对称性且通量为 $\phi = \pi$ 的系统，唯一能隙对称基态不可能存在，从而证明了此类SRE基态的排除定理。
• $\pi$ 通量插入会诱导Kramers双重态沿圆柱体泵浦，这仅与玻色子情况下的BQSH（双子量子自旋霍尔）相相容。
• 在奇数长度圆柱体上，$\pi$ 通量插入会使Schmidt本征态的对称性特征变号，表明发生拓扑泵浦，从而证实非平凡SPT相的存在。
• 即使 $U(1)$ 对称性被降低为离散的 $Z_2$ 子群，只要时间反演对称性仍保持，结果依然成立，证明了SPT分类在对称性破缺下的鲁棒性。